2.2.2 椭圆的几何性质精品学案

课题：2．2．2椭圆的几何性质

【教学目标】

1、知识目标

通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用．

2、能力目标

通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力．

3、情感价值目标

使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．

【教学重难点】

1．重点：椭圆的几何性质及初步运用．

2．难点：椭圆离心率的概念的理解．

【教学过程】

一、复习提问

1．椭圆的定义是什么？

2．椭圆的标准方程是什么？

3．椭圆中a,b,c的关系是？

学生口述，教师板书．

二、几何性质

根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之x2y2一，本节课就根据椭圆的标准方程221(ab0)来研究椭圆的几何性质．说明：椭圆自ab身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．

1．范围

x2y2x2y2引导学生从标准方程221(ab0)得出不等式21,21

abab即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．

2．对称性

设问：在椭圆的标准方程中，把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y时，方程有什么变化吗？这说明什么？

把x换成-x,方程不变,说明椭圆关于y轴对称；

把y换成-y,方程不变,说明椭圆关于x 轴对称； 把x、y同时换成-x、-y,方程还是不变,说明椭圆关于原点对称；

事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程不变，那么当点P(x，y)在曲线上时，点P关于y轴的对称点Q(-x，y)也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．类似可以证明其他两个命题．

同时向学生指出：如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．如：如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称．

事实上，设P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(x，-y)必在曲线上．又因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点对称点P2(-x，y)必在曲线上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称．

最后指出：x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．

3．顶点

x2y2引导学生从标准方程221(ab0)分析它与x轴、y轴的交点。

ab只须令x=0，得y=±b，点B1(0，-b)、B2(0，b)是椭圆和y轴的两个交点；

令y=0，得x=±a，点A1(-a，0)、A2(a，0)是椭圆和x轴的两个交点．

强调指出：椭圆有四个顶点A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)．

教师还需指出：

(1)线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b；

(2)a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；

这时，教师可以小结以下：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形．

根据前面所学有关知识画出下列图形

x2y2x2y2（1）1 （2）1

25162544．离心率

教师直接给出椭圆的离心率的定义：椭圆的焦距与长轴的比e。

等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e的几何意义．

先分析椭圆的离心率e的取值范围：

∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．

ca

再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：

（1）当e接近1时，c越接近a，从而ba2c2越小，因此椭圆越扁；

（2）当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；

（3）当e=0时，c=0，a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2y2a2，图形就是圆了．

三、应用

为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例题。

x2y21的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这例1求椭圆259个椭圆．

本例前一部分请一个同学板演，教师予以订正，估计不难完成．后一部分由教师讲解，以引起学生重视，步骤是：

33x2y225x2，根据y25x2在第一象限x51变形为y（1）列表：将55259的范围内算出几个点的坐标（x，y）

x y 0 3 1 2.94 2 2.75 3 2.4 4 1.8 5 0 （2）描点作图．先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆．要强调：利用对称性可以使计算量大大减少．

变式：已知椭圆方程为6x²+y²=6 它的长轴长是： 。短轴长是： 。

焦距是： .离心率等于： 。

焦点坐标是： 。顶点坐标是： 。

外切矩形的面积等于： 例2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）经过点P（-3，0）

、Q（0，-2）

；

3（2）焦点在x轴上，长轴长等于20,离心率等于．

5x2y2解：（1）由题意a=3,b=2,又∵长轴在x轴上，所以，椭圆的标准方程为1. 94c3 （2）由已知2a=20，e=. a5 ∴ a=10，c=6， ∴

b21026264，

x2y21 . 所以椭圆的标准方程为10064变式：已知椭圆经过点A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程。

因为题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置

。

x2y21;

1）当A（2，0）为长轴端点时，

a2,b1，椭圆的标准方程为41x2y21;

2）当A（2，0）为短轴端点时，

a4,b2，椭圆的标准方程为416x2y2x2y21或1

综上所述：椭圆的标准方程为41416例3.已知椭圆x2my21的离心率为3，求m的值. 2x2y2解：椭圆方程xmy1可化为11

1m22若111m1m133，则a21,b2,ca2b2，由e得，，所以m4; m2mmm21mm1m111m3若1，则a2,b21,ca2b2，由e得，m2mm1所以，m4或

413，所以m; 42 变式:已知椭圆的上顶点B，右焦点为F，O为坐标原点，且BF045,求椭圆离心率的取值范围。

解：

BFO45, e四、课堂小结

本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌握数与形的联系。在本节课中，我们运用了几何性质，待定系数法来求解椭圆方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。 cOF22又因为0e1，所以0e

cosBFOaBF22

解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关．布置学生最后小结下列表格：