3.1.2 共面向量定理教案设计

高二数学学案

选修2-1第3章

空间向量与立体几何(第2课时) 共面向量定理

〖学习目标〗

知识与技能：了解共面向量的含义，理解共面向量定理；

利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题；

过程与方法：运用类比的方法，自主探究向量共面的条件,并能灵活运用；

情感态度与价值观：体会类比，化归的思想方法；领悟数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量。

〖学习重点〗：共面向量的含义，理解共面向量定理

〖学习难点〗利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题

教学过程：

一.问题情景

1、关于空间向量线性运算的理解

A

M M D C

B N A N （1）

B C D （2）

问题：如图（1），MN可以由哪些向量相加得到？图（2）中呢？

平面向量加法的三角形法则可以推广到空间向量，只要图形封闭，其中的一个向量即可以用其它向量线性表示。

从平面到空间，类比是常用的推理方法。

D1

C1

二、建构数学

师生共同活动

B1

A1

C

D

A

B

如图：在长方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1AB,A1D1AD,而AB,AD,AC在同一平面内，此时我们称A1B1,A1D1,AC是共面向量。

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选修2-1第3章

空间向量与立体几何(第2课时) 1.共面向量的定义

一般地，

叫共面向量。

类比1：共面向量与共线向量的定义在形式上有何相同之处? 都是将向量问题转化为直线与直线或直线与平面之间的位置关系来研究. 探究1：

(1)我们已经知道空间中任意两个向量一定可以共面，

那么空间中任意三个向量一定是共面向量吗？请举例说明．

结论：空间中的任意三个向量不一定是共面向量．

例如：对于四面体ABCD，

AB、AC、AD这三个向量就不是共面向量．

(2)空间三个向量p,a,b具备怎样的条件时才是共面向量呢？

2.共面向量的判定

在平面向量中，向量b与非零向量a共线的充要条件是_______________________. 联想：空间任意一个向量p与两个不共线向量a,b共面时，它们之间存在怎样的关系呢？

类比到空间向量，探究得到

共面向量定理

如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件

B 这就是说，向量p可以由不共线的两个向量a,b线性表示。

b

P p

M A´

a

A

分析定理

类比2:空间共线向量定理和平面共线定理是相同的,那么,空间共面向量定理是否和平面向量的某个定理相联系呢? 空间向量中的共面定理与平面向量基本定理不仅在形式上是相同的,而且在本质上也是一致的.这是因为任意两个空间向量a,b都可以平移到同一个平面,当a,b不共线时,可以作为基向量,向量p与它们共面,也就是向量p可以平移到这个平面,所以就能用a,b线性表示. 三、数学运用

问题:如图，已知两堵矩形墙壁ABCD和ADEF所在平面垂直于地面，有两只蚂蚁分别从D、E两点沿对角线BD,AE向上爬，当它们分别爬到M,N处时，此时BM11BD,ANAE.它们惊奇的33发现它们距离地面CDE的高度一样，你能告诉它们这是为什么吗？

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空间向量与立体几何(第2课时) 分析：

证明：

B

C

思考：你能用综合法来证明吗？试比较这两种方法的差异。

A F N M D E 探究:对于空间任意一点O,试问满足向量关系OPxOAyOB（其中x+y=1）的三点P、A、B是否共线?

类比3:设空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若点P满足向量关系OPxOAyOBzOC（其中x+y+z=1）

试问：P、A、B、C四点是否共面？

分析： 解

思考：

①如果将x+y+z=1整体代入，由(xyz)OPxOAyOBzOC出发，你能得到什么结论？

②将例2进行变形：

设空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若P、A、B、C四点共面，且点P满足向量关系OPxOAyOBzOC，则x+y+z=1一定成立吗？

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空间向量与立体几何(第2课时) 四、回顾反思（学生回答）

1、知识点：共面向量定理；

2、我们能用共面向量定理解决哪些常用问题呢？

3、思想方法：类比方法的运用。

五、课堂练习

课本

六、课后作业

→→→→1．已知正方体ABCD−A'B'C'D'，点F是侧面CD'的中心，若AF= AD+mAB+nAA'，则m=

，n=

. →→→→2．已知G是△ABC的重心，O是空间任意的一点，若OA+OB+OC=λOG，则λ=

。

→→→→→3．已知正方体ABCD−A'B'C'D'，P，M为空间任意两点，如果PM= PB'

+7BA

+6AA'+4A'D'，则点M一定在平面

内。

4.已知两个非零向量e1,e2不共线,如果ABe,AC2e18e2,AD3e13e2，求证：e21A,B,C,D共面

5．若向量e1,e2,e3不共面，且向量ae2e3,be1e3,ce1e2，问a,b是否共线，a,b,c是否共面？bc,ca,ab是否共面。

6．E,F,G,H分别为正方体AC1的棱A1B1,A1D1,B1C1,D1C1的中点，

D1 F E H B1 C1 G 求证：（1）E,F,D,B四点共面；

（2）平面AEF//平面BDHG．

A1

D A B C - 4 -