2.2.2 椭圆的几何性质公开课参赛课教案

射阳县高级中学2017年秋学期高二数学导学案（022）

2.1圆锥曲线

编写：王翠霞

【学习目标】

1.通过用平面截圆锥面, 经历从具体情境中抽象出椭圆抛物线模型的形成过程. 掌握它们

的定义. 2.通过用平面截圆锥面感受了解双曲线的定义. 【学习重点】

掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义. 【学习难点】

一、明确目标自主学

(1)动画演示圆锥曲线名称的由来；

(2)数学小实验: [1]取一条细绳;[2]把它的两端固定在板上的两点F1、F2; [3]用铅笔尖（M）把细绳拉紧,在板上慢慢移动看看画出的图形. 观察做图过程：[1]绳长应当大于F1、F2之间的距离; [2]由于绳长固定，所以

M 到两个定点的距离和也固定.

二、解决疑难互动学

1.椭圆定义: (1)平面上到两个定点F1、F2的距离的

等于常数2a（大于

）的点的轨迹叫椭圆.两个定点F1、F2叫做椭圆的

.两焦点之间的距离叫做

. (2)椭圆定义的数学表达式:

. (3)定义中有两个关键词：“平面内”和“大于F1F2”

.

①若去掉“平面内”，其余条件不变，则点的轨迹是空间图形，而不是平面曲线.

②常数后加上大于F1F2是为了避免出现两种特殊情况，即轨迹为

或

.

2.双曲线定义: (1)平面内到两个定点F1，F2的距离的

等于常数2a（

）的点的轨迹做双曲线，两个

叫做双曲线的焦点，

间的距离叫做双曲线的焦距. (2)双曲线定义的数学表达式:

. (3) 双曲线的定义中要注意两点：

①距离之差的绝对值；②常数小于F1F2 思考: 常数大于等于F1F2，轨迹是什么？

3.抛物线定义: (1)平面内到一个定点F和一条定直线l（

）的距离

的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的

，定直线l叫做抛物线的

. (2)抛物线定义的数学表达式:

(其中d为点P到l的距离) (3) ①抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F即抛物线的焦点；一条定直线l即抛物线的准线；一个定值即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1。

②在抛物线的定义中，定点F不能在直线l上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线。如到点F（1，0）与到直线l：x+y－1=0的距离相等的点的轨迹方程为x－y－1=0，轨迹为过点F且与直线l垂直的一条直线。

例1. 利用椭圆的定义判断动点的轨迹: 已知B、C是两个定点，BC＝8，且△ABC的周长等于18，顶点A在什么曲线上运动?

例2.

利用双曲线的定义判断动点的轨迹: 动圆M过定圆C外的一点A,且与圆C外切，问：动圆圆心M的轨迹是什么图形？

变式：若动圆M过点A且与圆C 相切呢？

三、提高能力反思学

利用抛物线的定义判断点的轨迹: 已知定点P（0，3）和定直线l：y+3＝0，动圆M过P点且与直线l相切，求证：圆心M的轨迹是一条抛物线

射阳县高级中学2017年秋学期

高二数学作业（022）

班级：

姓名：

学号：____________ 1.平面内到两定点F1(-4,0)、F2(4,0)的距离和等于10的点的轨迹是

2.设有两定点F1

、F2 , 且|F1F2|=4, 动点M满足|MF1|+|MF2|=4, 则动点M的轨迹是

3.平面内到两定点F1(-1,0)、F2(1,0)的距离的差的绝对值等于1的点的轨迹是

4.平面内到两定点F1(-1,0)、F2(1,0)的距离的差的绝对值等于2的点的轨迹是

5.若平面内到点F（0，1）的距离与直线y=-1的距离相等的点的轨迹是

6.到点A（0，2）的距离比到直线l：y＝－4的距离小2的动点P的轨迹是

7. 已知△ABC，其中B（0，1），C（0，－1），且AB－AC＝1，则A点的轨迹是

8.设M(－5, 0) , N(5 , 0) , △MNP的周长为36, 则顶点P的轨迹为

9.动圆与定圆(x－2)2+y2=1外切, 又与直线x+1=0相切, 则动圆圆心的轨迹是

10.已知A、B两地相距800m , 在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s , 且声速是340m/s , 则

炮弹爆炸点M的轨迹是

11.如图，已知定点A，动点B是圆F（F为圆心）上的一点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹是

12.如图，已知定圆F1，定圆F2，半径分别为r1＝1，r2＝2，动圆圆心M与定圆F1，F2都外切，试判断动圆圆心M的轨迹。

13.已知∆ABC中，B（-3，0），C（3，0），且AB，BC，AC成等差数列。

（1）求证：点A在一个椭圆上运动；

（2）写出这个椭圆的焦点坐标。

射阳县高级中学2017年秋学期高二数学导学案（023）

2.2.1椭圆的标准方程(1) 编写：王翠霞

【学习目标】 1.掌握椭圆的标准方程, 能够根据已知条件求椭圆的标准方程.

2.能用标准方程判定曲线是否是椭圆. 【学习重点】

椭圆的标准方程及其推导. 一、

明确目标自主学

1.标准方程的推导: [1]建系设点:

[2]列等式:

[3]等式坐标化:

[4]化简:

[5]检验:

2.标准方程的分析:

焦点在x轴上

焦点在y轴上

标准方程

图象

焦点坐标

a、b、c的关系

想一想：若椭圆的方程为x2y2m2n21(m0,n0,mn)怎样判断其焦点的位置？

二、

解决疑难互动学

例1.判定下列椭圆的焦点在什么轴上，并指明a2、b2、c2，写出焦点坐标与焦距.

(1)

x222225



y16



1

(2)

x144



y169



1

(3)16x27y2112

例2. 若方程x2k4y29k1表示

(1)椭圆，则参数k的取值范围是

. (2)圆，则参数k的取值范围是

. (3)表示焦点在x轴上的椭圆，则参数k的取值范围是

(4)表示焦点在y轴上的椭圆，则参数k的取值范围是

例3.

用待定系数法求椭圆的标准方程:求适合下列条件的椭圆的标准方程.

(1) a=2 , b=1 , 焦点在x轴上;

(2)b1，c15;

(3) 两焦点坐标分别是(－2, 0), (2, 0),且过点(532,2); (4) 经过两点P(1,1)，Q(0,1332); (5) 经过点(2，-3)，且与椭圆9x24y236有共同焦点.

三、

提高能力反思学

P32练习1,2

射阳县高级中学2017年秋学期

6.椭圆mx2+ny2+mn=0 (m

高二数学作业（023）

班级：

姓名：

学号：____________ x2y21k53k7.若方程表示椭圆，则实数k的取值范围是_______.

1. a=2,b=1的椭圆的标准方程为

x2y28.已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆, 则m的范围_______________. |m|12m2. 已知椭圆x29y271，则(1)a、b、c的值分别是

、

、

;

(2) 焦点坐标为：________、________. 223.已知椭圆的方程为x4y51，则焦点坐标为：________、________，焦距等于_________; 4.方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在x轴上的椭圆, 则k的取值范围是: ___________ 5. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1) a=4 , b=3 , 焦点在y轴上;

(2) a+c=10 , a－c=4 ; (3)焦距为4，且经过点(3,26)，焦点在x轴上;

(4)经过点(2,2155)与椭圆3x24y212有共同焦点; (5)中心在原点, 焦点在坐标轴上, 且经过两点P(13, 13), Q(0 , 12);

9.已知椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0，2)，那么实数k的值为___

__

10.椭圆x2y2m41的焦距是2 , 则m值为

11. α∈(0 , 2),方程x2sinα+y2cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆, 则α的取值范围是

12.方程x225my216m1

，分别求方程满足下列条件的m的取值范围：

①表示一个圆；

②表示一个椭圆；

③表示焦点在x轴上的椭圆.

射阳县高级中学2017年秋学期高二数学导学案（024）

2.2.1椭圆的标准方程(2) 编写：王翠霞

【学习目标】

1.能正确运用椭圆的定义与标准方程解题;

2.学会用待定系数法与定义法求椭圆方程. 【学习重点】

用待定系数法与定义法求曲线方程. 【学习难点】

方程解的全面考虑及轨迹的完备性的探求. 一、

明确目标自主学

1. 椭圆定义的数学表达式:

(椭圆上任一动点设为P，焦点为F1、F2) 2.焦点在x轴上，椭圆的标准方程为：

焦点坐标为：

焦点在y轴上，椭圆的标准方程为：

焦点坐标为：

3.a,b,c之间的关系为：

二、解决疑难互动学

例1. 椭圆定义的应用: 1.两个焦点的坐标分别是(－4 , 0) , (4 , 0), 椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10:

变式1:两个焦点的距离为8 , 椭圆上一点P 到两个焦点距离之和为10:

变式2: 动点P到两定点F1(－4 , 0) , F2(4 , 0)的距离和为8 , 则动点P的轨迹方程:

2.已知椭圆x216y291，若CD为过左焦点F1的弦, 则△F2CD的周长为__________ . 3.设P是椭圆x216y2121上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是

三角形.

例2.

与椭圆有关的简单轨迹方程问题的求解:

1. 设动点P到点F(1 , 0)的距离是到直线x=9的距离的13, 求点P的轨迹方程, 并判断此轨迹是什么图形.

2. 将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持不变, 纵坐标变为原来的一半, 求所得曲线的方程, 并说明它是什么曲线.

3.已知△ABC 中,BC=6 , △ABC周长等于16 , 求顶点A的轨迹方程

.

三、提高能力反思学

已知定圆C1: x2+y2+4x=0 , 圆C2: x2+y2－4x－60=0, 动圆M和定圆C1外切和圆C2内切, 求动圆圆心M的轨迹方程;

:

射阳县高级中学2017年秋学期

高二数学作业（024）

班级：

姓名：

学号：____________ 1.椭圆标准方程为x2225y161, M1、M2为椭圆上的点.

(1)点M1(4 , 2.4)与焦点的距离分别是__________、___________.

(2)点M2到一个焦点的距离为3 , 则到另一焦点距离为___________ . 2.椭圆x2y2100361的焦距是

，焦点坐标是

，若AB为过椭圆的一个焦点F1的一条弦，F2为另一个焦点，则△ABF2的周长是

3.①命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和PA+PB=2a (a>0常数) ; ②命题乙: P点轨迹

是椭圆, 则命题甲是命题乙的

条件. 4.已知B(0 , －4), C(0 , 4)且△ABC的周长等于18, 则顶点A的轨迹方程是

5.已知△ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列, B(－1, 0), C(1 , 0), 则顶点A的轨迹方程是

6.

△ABC的两顶点A(－6 , 0), B(6 , 0) , 边AC、BC所在直线的斜率之积等于49, 求顶点C的轨迹方程.

7.从圆x2+y2=25上任意一点P向x轴作垂线段PP′, 且线段PP′上任一点M满足关系式

PP′: MP′=5 : 3 . 求点M的轨迹.

8. 在△ABC中, BC=24 , AC、AB边上的中线长之和等于39, 求△ABC的重心的轨迹方程.

9. 椭圆C：x2y2a2b21(a>b>0)的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2, PF413,PF1423. (1) 求椭圆C的方程；

(2) 若直线l过圆x2y24x2y0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.

射阳县高级中学2017年秋学期高二数学导学案（025）

2.2.2椭圆的几何性质

编写：周冬松

【学习目标】

1.掌握椭圆的简单的几何性质, 掌握椭圆中a , b , c , e的几何意义及关系.

2.感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法.

3.能运用椭圆的方程和几何性质处理一些简单的实际问题. 【学习重点】

椭圆中字母a , b , c及e的几何意义. 【学习难点】

数形结合思想, 运用方程研究性质. 一、

明确目标自主学

1.椭圆的简单的几何性质

(1)范围

(2)对称性

(3)顶点

(4)离心率

二、

解决疑难互动学

x2例1.求椭圆y22591的长轴长, 短轴长, 离心率和顶点坐标, 并用描点法画出这个椭圆.

变式: x2y29251呢

?

例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)经过点P(－3 , 0) , Q(0 , 2) ;

(2)长轴长等于20 , 离心率等于35

例3.我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心(简称“地心”F2为一个焦点的椭圆, 已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km , 远地点B(离地面最远的点)距地面2384km , AB是椭圆的长轴, 地球半径约为6371km , 求卫星运行的轨道方程.

四、提高能力反思学

P36练习4,5,6

射阳县高级中学2017年秋学期

高二数学作业（025）

班级：

姓名：

学号：____________

1.椭圆的长半轴与短半轴之比是5 : 3 , 焦距是8 , 焦点在x轴上, 则此椭圆的标准方程是

A. x2y2x2y2531

B. 259C. x23y251

D. x2y21

9251

(

) 2.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点, 则e为

___________________

3.在下列方程所表示的曲线中, 关于x轴, y轴对称的是

(

)

A. x2－4y=0

B. x2+2xy+y=0

C. x2－4y2=5x

D. 9x2+y2=4 4.已知AB为经过椭圆x2y2a2b21

(a>b>0)的中心弦, F(c , 0)为椭圆的右焦点, 则△AFB的面积的最大值

(

)

A. b2

B. ab

C. ac

D. bc 5.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形, 则此椭圆的离心率为

________________

6.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2

, 过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P, 若△F1F2P为等腰直角三角形, 则椭圆的e为

____________________.

7.

【2017浙江，2】椭圆x29y241的离心率是_____________ .

，理10】已知椭圆C：x2【2017课标3y28. a2b21，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为

______________ .

9.求下列各椭圆的长轴和短轴的长, 离心率、焦点坐标、顶点坐标.

(1) 16x2+25y2=400

(2) 4x2+y2=16

10.求适合下列条件的椭圆方程.

(1) e=0.8 , 焦距为8 ;

(2)长轴是短轴的3倍, 且椭圆过点P(3 , 0) ;

(3)椭圆过点P(－22, 0), Q(0 , 5) .

11.已知椭圆中心在原点长轴在坐标轴上, 离心率为53, 短轴长为4 , 求椭圆方程.

射阳县高级中学2017年秋学期高二数学导学案（026）

2.2.2椭圆的第二定义

编写：周冬松

【学习目标】 1.理解椭圆的第二定义, 掌握椭圆的准线方程及准线的几何意义, 进一步理解离心率的几何

意义. 2.能根据椭圆的几何性质解决有关的实际问题. 3.进一步全面理解椭圆的几何性质, 加深对两种定义等价性的理解. 【学习重点】

椭圆的第二定义的理解及应用

【学习难点】

理解焦点与相应准线的相互关系及其相互转化关系. 一、

明确目标自主学

a2点M(x , y)与定点F(c , 0)的距离和它到定直线l : x=cc的距离的比是常数a(a>c>0), 求点M的轨迹.

指出: 椭圆的第二定义. 思考: 椭圆的两种定义是否等价?

练习: 求下列椭圆的顶点坐标、焦点坐标和准线方程. ①x2100y2361

② 2x2+y2=8

二、

解决疑难互动学

例1.①已知椭圆上一点P到两焦点的距离分别为10和14 , 且准线方程为y=±18, 求椭圆的标准方程_______________ . ②已知P是椭圆x2100y2361上的点, P到右准线的距离为8.5, 则P到左焦点的距离为_____________ . 例3.点P(－1, －1)为椭圆x2y2431内一点, F为右焦点, 在椭圆上有一点M , 使|MP|+2|MF|取得最小值, 求点M的坐标.

三、

提高能力反思学

如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:x2y2【2017江苏，17】a2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1, F2,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作

直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线E的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.

射阳县高级中学2017年秋学期

高二数学作业（026）

班级：

姓名：

学号：____________

1.若椭圆的两个焦点和中心, 将两准线间距离四等分, 则它的一个焦点与短轴两端点连线的夹角为

_________________

2.椭圆x229y251的准线方程为

____________________

3.已知P是椭圆x229y161上有一点P, 则P到此椭圆的一条准线与相应焦点的距离之比为

A. 45

B. 54

C. 74

D.47

(

) 4.椭圆x2225y91, 它到左准线的距离是52, 那么点P到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是

(

)

A. 4 : 1

B. 9 : 1

C. 12 : 1

D. 5 : 1 5.若椭圆两准线间距离为1855, 长轴长与短轴长之比为3 : 2 , 则椭圆的标准方程是_____________ . 226.椭圆xa2yb21(a>b>0)上一点P(3 , y)到两焦点F1、F2的距离分别为6.5 , 3.5 , 则椭圆方程为____________ . 7.椭圆x225y2161上一点P到一焦点的距离等于3 , 求它到相应的准线的距离_________ . 8.点M与椭圆x2y21321221的左焦点和右焦点的距离之比为2 : 3 , 求点M的轨迹方程.

9.点P到定点F(2 , 0)的距离和它到定直线x=8的距离之比为1 : 2 , 求点P的轨迹方程, 并说明轨迹是什么图形.

10.

已知圆柱的底面半径为

4 , 与圆柱底面成30°的平面截这个圆柱得到一个椭圆, 建立适当的坐标系, 求椭圆的标准方程和离心率.