12.3 互逆命题优秀教案案例

12.3互逆命题

一.设计思路

这节课创设了一个根据条件观察图形，做出猜想，证明猜想的活动情境，设计这个活动，使学生既经历合情推理，又经历演绎推理，不断发展初步演绎推理能力，从而使《标准》中“经历观察，实验猜想，证明”等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自已的观点”这些过程性目标得到落实，再通过例题让学生知道可用不同的方式和方法证明同一个命题. 二.目标设计

1. 能使用合情推理和演绎推理证明一个命题；

2. 知道可以用不同的方式与方法证明同一个命题；

3. 探索关于图形的“位置关系”和“数量关系”的互逆命题. 三.活动设计

活动内容

情境

：

如图1, AB∥CD，AB与DE相交于点G，

∠B=∠D. 问题1：你由这些条件得到什么结论？

A如何证明这些结论？

CEGDBF师生互动思考与安排

说明:充分发挥学生的主动性,去探索问题的结论. 图1 在下列括号内填写推理的依据. 因为AB∥CD(已知) 所以∠EGA=∠D( ) 又因为∠B=∠D(已知) 所以∠EGA=∠B( ) 所以DE∥BF( ) 上面的推理过程用符号“”怎样表达：

分析:AB∥CDGEADEGABDE∥BF BD问题2：还有不同的方法可以证明DE∥BF吗？

问题3：在图(1)中，如果DE∥BF，∠B=∠D，那么你得到什么结论？证明你的结论. 问题4：在图(1)中，如果AB∥CD，DE∥BF，那么你得到什么结论？证明你的结论. 说明：1、问题3、4构造了课本中讨论的关于图(1)的一个命题的逆命题，实质是在不断依据有关平行线的的互逆命题进行推理中，引导学生逐步认识探索图形的性质要关注图形的

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“位置关系”和“大小关系”的内在联系，体验数学活动中充满着探索与创造，感受数学的严谨. 2、课本提供的情景是让学生经历“观察--实验--猜想—证明”等活动，由合情推理到演绎推理，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，从而不断发展初步的演绎推理的能力. 3、实际中我们可以把图形演变为图2，再来让学生猜想，并能得出什么结论，并证明结论的正确性.从中让学生从中判断“如果任意角的两边分别互相平行，那么这两个角相等”这个命题正确与否.

G 图2 四.例题设计

例1 证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两d条直线也互相平行. 1a分析：已知：如图(2)直线a、b、c，

2bb∥a，c∥a，求证：b∥c. 证明：作直线a、b、c的截线d 因为b∥a(已知) 所以

∠2=∠1( ) 因为c∥a (已知) 所以∠3=∠1( ) 所以∠2=∠3(等量代换) 所以b∥c( ) 用符号“”简明表述上述的推理过程如下：

b∥a∠2=∠1 ∠2=∠3b∥c c∥a∠3=∠1 你还有其他的方法证明b∥c吗？

说明：这个例题可以让学生自己去探索，因为学生已有了3cDCAEFB

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这个结论，并且也有学生在解题时用过这个结论，如同三角形的内角和一样，此题的证明有多种方法，可让学生自己先说证明思路，教师切不可自己先讲，要让学生有自己的思考过程，也不可只讲一种访求了事，让学生体会多种方法. 例2 如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上，且BD=AD，DC=AC，求∠B的度数. 分析：图中有三个等腰三角形，可用等边对等角的性质，再用方程的思想解题，列方程的依据是三角形内角和定理. 解：∵AB=AC(已知) ∴∠B=∠C(等边对等角) 同理，∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA. 设∠B=x°，则∠C=x°，∠BAD=x°，

∴∠ADC=2x°, ∠CAD=2x°. 在△ADC中，∵∠C+∠CAD+∠ADC=180°. ∴x°+2 x°+ 2x°=180 °. ∴x°=36 °. 答：∠B的度数为36°. 说明：这个几何计算题中没有知道任何一个角的度数，可是最后是让学生来求一个角的度数，同样也要让学生去体会，尝试用各种方法来解决，也要让学生有自己的思维过程，让学生体会数形结合，本例若想不到方程思想，或是找不到方程的依据，则问题就得不到顺利解放，究其原因，是对用代数方法解几何题较陌生，要加强训练加深印象.

五.拓展练习

3 ABDC

1.给下面的证明过程证明理由

已知AB=DC，∠BAD=∠CDA 求证：∠ABC=∠DCB 证明：连结AC、BD交点为O 在△ADB与△DAC中

因为∠BAD=∠ADC( ) AD=DA( ) AB=DC( ) 所以△ADB≌△DAC( ) 所以BD=CA 又在△ABC与△DCB中

因为BD=CA( ) AB=DC( ) BC=BC( ) 所以△ABC≌△DCB( ) 所以∠ABC=∠DCB 2.证明：角平分线上的一点到这个角的两边距离相等.

AOBDC

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