多边形的外角和名师教学设计1

9．2

多边形的内角和与外角和

1．理解多边形的概念和正多边形的概念．

2．了解多边形的内角、外角、对角线等概念．

3．在熟悉和掌握多边形内角和定理的基础上，推理并掌握多边形的外角和定理．

重点

多边形内角和定理的探索和应用．

难点

多边形的内角和，外角和定理的推导．

一、创设情境、复习引入

什么叫三角形？你能说出什么叫四边形、五边形吗？三角形如何表示？

二、探索问题，引入新知

试一试：四边形和五边形是怎样表示呢？

如图(1)，三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形．记作：△ABC.

如图(2)，四边形是由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形．记作：四边形ABCD. 如图(3)，五边形是由五条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形．记作：五边形ABCDE. 一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形．

注意：(1)我们现在研究的是如图(2)(3)的多边形，也就是凸多边形，如图(4)也是多边形，但不是我们现在研究范围．

(2)与三角形类似，如图(5)所示，∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角，∠CBE和∠ABF都是与∠ABC相邻的外角，两者互为对顶角，称为一对外角．

如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形．连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．

如：正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等．

试一试：我们知道三角形的三个内角和是180度，那么四边形、五边形、六边形……的内角和是多少？

由下图可以看出，从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为若干个三角形，我们已知一个三角形的内角和等于180度，这样我们就可以求出多边形的内角和．

根据我们的分析，完成下表：

多边形

的边数

分成的三

角形个数

3 1 4 2 360°

5 3 540°

6 4 720°

…

…

…

n

n－2

(n－2)·180°

多边形的

180°

内角和

由此，我们可以得出：

结论：n边形的内角和为(n－2)·180°. 与多边形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和．

如图，四边形ABCD，∠1、∠2、∠3、∠4分别是四个外角，求：∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数．

因为∠1＋∠DAB＝∠2＋∠CBA＝∠3＋∠DCB＝∠4＋∠ADC＝180°，又因为∠DAB＋∠CBA＋∠DCB＋∠ADC＝360°(四边形内角和等于360°)，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°.所以四边形的外角和等于360°.根据n边形的每一个内角与它相邻的外角互为补角，就可以求得n边形的外角和，填表：

多边形

的边数

多边形的

内角与外

角的总和

多边形的

3 3×180°

＝540°

180°

4 4×180°

＝720°

360°

5 5×180°

＝900°

540°

…

n

…

…

n×180°

(n－2)·

内角和

多边形的

外角和

360°

360°

360°

…

180°

360°

结论：任意多边形的外角和都为360°. 【例1】

如图，多边形ABCDE的每个内角都相等，求每个内角的度数．

分析：根据多边形内角和定理求解．

解：∵五边形的内角和＝(5－2)·180°＝540°，又∵五边形的每个内角都相等，∴每个内角的度数＝540°÷5＝108°. 【例2】

一个多边形的内角和等于900°，则这个多边形是几边形？

分析：根据多边形内角和定理求解．

解：设多边形为n边形，由题意得(n－2)·180°＝900°，解得n＝7. 【例3】

一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形是几边形？

分析：根据任意多边形的外角和都为360°求解．

解：设多边形为n边形，由题意，得n·72°＝360°解得n＝5.

例4：如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30度，再沿直线前进10米，又向左转30度，……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走了多少米？

分析：根据题意，小亮走过的路程是正多边形，先用360°除以30°求出边数，然后再乘以10米即可．

解：∵小亮每次都是沿直线前进10米后向左转30度，∴他走过的图形是正多边形，∴边数n＝360°÷30°＝12，∴他第一次回到出发点A时，一共走了12×10＝120(米)．故他一共走了120米．

三、巩固练习

1．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是(

) A．四边形

B．五边形

C．六边形

D．八边形

2．若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是(

) A．6

B．12

C．16

D．18 3．如果n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是(

) A．4

B．5

C．6

D．7 4．七边形的内角和为________．

5一个n边形的内角和是720°，则n＝________. 6．若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是________．

7．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式

如图所示，则∠AOB等于________度．

,第7题图)

,第8题图) 8．如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1＝65°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝________. 四、小结与作业

小结

先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．

作业

1．教材第88页“习题9.2”中第1，2，3题．

2．完成练习册中本课时练习．

本节课通过把多边形划分成若干个三角形，用三角形内角和去求多边形的内角和，从而得到多边形的内角和公式为(n－2)·180°.这种化未知为已知的转化方法，必须在学习中逐步掌握．由于多边形的外角和等于360°，与边数无关，所以常把多边形内角的问题转化为外角和来处理．通过练习情况来看学生本节课掌握的较好．