等腰三角形的判定与反证法优质课一等奖教案

第3课时

等腰三角形的判定与反证法

教学目标

一、基本目标

1.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．

2．了解反证法的基本证明思路，培养学生的逆向思维能力，并能简单应用．

二、重难点目标

【教学重点】

掌握等腰三角形的判定定理．

【教学难点】

利用反证法进行证明．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P8～P9的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为：等角对等边．

2．先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．

3．用反证法证明命题“一个三角形的三个外角中，至多有一个锐角”的第一步是假设三角形的三个外角中，有两个锐角．

4．如图所示，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连结DE，则图中等腰三角形共有(

D

)

A．2个

C．4个

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．

B．3个

D．5个

【互动探索】(引发学生思考)要证△CEF是等腰三角形，结合已知条件考虑证明CE＝CF即可．

【证明】∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC.又∵∠B＋∠BAE＝∠AEC，∠ACD＋∠EAC＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．

【互动总结】(学生总结，老师点评)“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．

【例2】求证：△ABC中不能有两个钝角．

【互动探索】(引发学生思考)用反证法证明时，假设什么？

【证明】假设△ABC中能有两个钝角，不妨设∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°，

所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，

这与三角形的内角和为180°矛盾，所以假设不成立，

因此原命题正确，即△ABC中不能有两个钝角．

【互动总结】(学生总结，老师点评)反证法的步骤：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论反面的所有可能的情况．如果只有一种，那么否定一种就可以了；如果有多种情况，则必须一一否定．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中(

C

) A．有一个内角大于60°

B．有一个内角小于60°

C．每一个内角都大于60°

D．每一个内角都小于60°

2．在等腰梯形ABCD中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，AD∥BC，则图中的等腰三角形有(

D

) A．1个

C．3个

B．2个

D．4个

3．如图，在4×3的正方形网格中，点A、B分别在格点上，在图中确定格点C，则以A、B、C为顶点的等腰三角形有3个．

4．用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角．

证明：不妨设等腰三角形△ABC中，∠A为顶角，则分情况证明．①设∠B、∠C都是直角，则∠B＋∠C＝180°，故∠A＋∠B＋∠C＝180°＋∠A＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾；②设∠B、∠C都是钝角，则∠B＋∠C＞180°，故∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．综上所述，假设①②错误，所以∠B、∠C只能为锐角，即等腰三角形的底角必为锐角．

5．如图所示，D为△ABC的边AB的延长线上一点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，交BC于点E，且BD＝BE，求证：△ABC是等腰三角形．

证明：∵DF⊥AC，∴∠DFA＝∠EFC＝90°，∴∠A＋∠D＝90°，∠C＋∠1＝90°，∴∠A＋∠D＝∠C＋∠1.∵BD＝BE，∴∠2＝∠D.∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠D，∴∠A＋∠D＝∠C＋∠D，∴∠A＝∠C，∴AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形．

活动3

拓展延伸(学生对学) 【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE. (1)求证：△DEF是等腰三角形；

(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．

【互动探索】(1)根据“等边对等角”可得∠B＝∠C，从而利用“边角边”证明△BDE≌△CEF，进而根据“全等三角形对应边相等”可得DE＝EF，即可证得结论；(2)根据“全等三角形对应角相等”可得∠BDE＝∠CEF，从而得到∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的外角定理求出∠B＝∠DEF，进而求出∠DEF.

BD＝CE，【解答】(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CEF中，∵∠B＝∠C，BE＝CF，∴△BDE≌△CEF，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形．

(2)∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE.∵∠B1＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，∴∠B＝∠DEF.∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠B＝×(180°－∠2A)＝65°，∴∠DEF＝65°. 【互动总结】(学生总结，老师点评)等腰三角形提供了很多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 1．等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)．

2．反证法的步骤：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．

练习设计

请完成本课时对应练习！