小结与思考名师课堂实录

构造相似三角形解反比例函数问题研究

一、学情分析

反比例函数是苏科版八年级下册第十一章的内容、而相似三角形则是苏科版九年级下册的内容，在学习完这两章内容后，学生会遇到一类问题需要将相似三角形与反比例函数结合的问题进行求解，这一类题目对于学生的几何直觉、代数计算、数形结合的能力都提出了较高的要求，故而在复习阶段，本人研究了一些通过构造相似三角形进行解反比例函数的问题，给到学生两种解决问题的途径，在此类问题上可以迅速找到切入点，有所突破。

二、教学目标

1. 知识与技能

（1）、熟练掌握反比例函数k的几何意义以及设而不求的方法；

（2）、在反比例函数问题中可以通过向坐标轴作垂线构造k型相似、A型相似；

2. 过程与方法

（1）、理解如何将相似得到的条件转换成反比例函数问题解决；

（2）、理解数学中的“转化”思想；

3. 情感与价值

（1）、理解通过本节学习，让学生深刻了解数学知识之间的联系，理解方法是如何产生的，对于数形结合、转化思想等有一定的理解和感悟.

三、教学重难点

基于以上对教材的分析和教学目标的设定，将教学重点和难点确定为：

1. 重点：如何构造相似三角形得到相似比，将相似比转化为反比例函数问题的两种途径；

2. 难点：如何将相似与反比例函数联系，熟练运用反比例函数的特殊性质与解题方法.

四、教学内容

教学设计

【教学引入】

设计意图

从一道已解决的问题引入，在课堂上，学生提出两种解决方案：

方案一：通过X型相似的相似比，得到OC与AB的关系，将点A的坐标设为（

，

），

将相似比转换为点坐标的关系，从而得到B点坐标，求解反比例函数；

方案二：过A点作垂线，过B点作垂线，将相似比转换为面积比解决；

归纳两种解决问题的途径：

途径一：相似——相似比——点坐标关系——设而不求

途径二：相似——相似比——面积比——k的几何意义

比较两种途径哪一种比较简洁，在思路上与计算上分别进行分析，引入今天的主题：“构造相似型解反比例函数问题”

通过一道例题来建立模型：

“向坐标轴作垂线”构造“K型相似”

让学生能够自己研究题目，动手解决，结合之前遇到的直角问题以及函数中求坐标需要“横平竖直”的线段，从而联想到“K型”相似；而解决此类问题可以采用上述两种途径，但建议学生利用面积法解决更便捷

研究例1后学生初步能够在题目中添加辅助线构造K型相似，而此时添加一个变式巩固；

此变式将直角“动”了起来，而“动中有静”，由于相似比固定，故而面积比固定，故而比值不变；

学生进一步感受构造K型相似，通过面积解决问题的方法。

在上述问题的基础上，进一步将已知的反比例函数解析式转换为更为抽象的字母解析式，从而进一步的理解问题，在本题中还要注意反比例函数中k的正负与线段比值之间的关系，注意符号陷阱。

【第一种K型模型建构】

至此，第一部分的建模初步完成，在提问学生进行归纳的基础上，我们得到：当反比例函数中出现直角时，我们可以考虑向坐标轴作垂线构造“K型“相似，通过相似比转换成面积比，从而求解反比例函数问题（当然，也可以通过设点完成，但计算量大一些，可以由学生去比较选择）

本题中设置了一个难点：“如何找到必须条件——直角”所以联想到等边三角形三线合一的性质，从而构造出直角，得到直角之后，向坐标轴作垂线解决问题，是上述模型的应用，旨在促使学生更加熟悉模型，应用模型

本题中由于旋转的对应相等，“K型相似”转换成了“K型全等”，最终通过写出B点坐标，由A、B均在反比例函数上得出等量关系，求解a、b之间的关系；

故而题目中还要注意是否有更多的条件将“相似问题”转换成条件更充分的“全等问题”

【巩固练习】

【第二种A型模型建构】

通过一道例题来建立模型：

“过反比例函数上一个点向坐标轴作垂线”寻找“坐标轴三角形”与k的几何意义联系起来

让学生能够自己研究题目，动手解决，通过相似将三角形面积用k来表示，最终通过给出的面积建立等量关系解决；而解决此类问题可以采用上述两种途径，但利用k的几何意义解决更便捷

本题作为变式，将例题中的条件与结论交换，给出面积，求解k值，同样的解决办法就是过A点作垂线，将面积用k来表示，通过相似比转换成面积比，找到面积的等量关系解决。

练习题进一步巩固这一类题目一般策略：

作垂线构造A型——通过相似得到面积比——找到面积的等量关系解决问题；

学生对于此类辅助线可以熟练掌握

【小结】

本节课通过构造两种基本模型，归纳出反比例函数中如何构造“K型”“A型”相似，与反比例函数的几何特性结合起来求解；

体现了数学中“数形结合”和“转化”思想

五、课后作业

归纳整理两种模型，制作一份反比例函数与相似三角形结合题目的“解决策略”，可用思维导图表达。