12.2 证明教学设计一等奖

初一数学教学设计

12.2

证明（3）

——三角形内角和定理

年级

课

题

七年级

12.2 证明

学科

数学

第3课时

本节课为苏科版七年级下册第十二章《证明》第2小节第3课时——三角形内角和定理. 由于七年级上册“平面图形的认识（一）”和七年级下册第七章“平面图形的认识（二）”已做了一些推理的渗透，所以本小节是以“三角形内角和定理”作为范例，采用形式化的三段论证————“∵————∴————（————）”的表达形式，完整地呈现了命题证明的全过程，教材分析

引导学生初步学习演绎推理以及综合法的书写，同时注重思考的条理性，是培养学生表达和交流能力很好的素材.针对这种情况,我用剪拼三角形的方法导入来引导学生得到画辅助线的方法，从而证明三角形内角和定理，然后让学生通过操作、探索、证明、归纳出三角形内角和定理的推论，再通过练习及变式训练让学生对知识进行巩固、拓展、应用,从而让学生达到学以致用的目的,也真正体现课堂教学中“以学生为主体,教师为主导,训练为主线”的教学思想.

1．进一步了解证明的基本步骤和书写格式；

2．会证明三角形内角和定理以及推论，并能简单运用；

3．在交流中发展有条理思考和表达的能力，树立言之有理、落笔有据的推理意识．

教学目标

4．经历探索论证三角形内角和定理以及它的推论的过程，体会转化的思想方法.在学习过程中培养学生的合作探究、互相学习的习惯.

教学重点

会证明三角形内角和定理及其推论，并能简单运用．

（1）学生有条理的表达能力的培养; 教学难点

（2）辅助线的添画方法.

主要教学过程

（含教师课堂活动、学生课堂活动）

一、

学习目标

(1)能通过添加辅助线的方法证明三角形内角和定理； (2)掌握三角形内角和定理和它的推论.

设计意图说明

展示的目标以知识目标为主，同时让学生带着目标学习,能加强学生学习的目的性，提高课堂效率.

二、情境引领

通过图像变化，得出三角问题：三角形有三条边、三个内角，它们有怎样的数量关系呢？

形，自然过渡到本节课将要学习

的内容．

教

学

过

程

与

方

法

三、自主构建

1．证明：三角形三个内角的和等于180°．（板书）

问题1：这个命题的条件和结论是什么？请你结合图形，说出已知，求证；

问题2：由180 °你想到什么？怎样将∠A、∠B、∠C搬在一起？

A

C B 问题2的学生活动：

⑴．独立思考．围绕问题2思考证明方法，把想法画到学案纸上．

⑵．小组合作．把各自的方法在小组内交流、探讨．

⑶．有条理表述．学生选择合适的方法书写证明过程，并展示讲解．

教师点拨：

⑴思考:如何把实验操作的问题转化成几何图形？

⑵如何添加的辅助线？辅助线有何作用？

⑶拼图想一想:你还有其它添加辅助线的方法吗？

问题3：在平面内任取一点，作三角形三边的平行线能否把三角形的三个角转化到同一点构成平角呢？下列图形为我们列出了部分辅助线，请你就图中的添加辅助线，探索证明三角形内角和定理的方法。

把学生的思维从拼接三角形的三个角这一小学固定的模式中解放出来，从进一步抽象的角度，思考证明三角形内角和定理的方法，不仅激发学生的学习热情，更培养了学生的合作探究能力，语言表达能力，抽象思维能力。

教师点评: ⑴学生书写的格式(三段论证的表达形式); 0⑵点拨做辅助线的目的是为了转化角度,构造180, ⑶评讲辅助线通常画成虚线. 0⑷构造180有两种方式，一是平角的定义；二是两直线平行，同旁内角互补. 2.

几何语言: 在△ABC中，

用剪拼三角形的方法引导学生直观地发现三角形内角和0为180,将三种不同的剪拼图展示在黑板上,引出课题,并且为三角形内角和定理的证明提供了添画辅助线的依据,降低了证明难度. 在小组交流中，教师适时引导：①为了证明的需要我们可以在原来的图形上添加辅助线．②添辅助线，实质是构造新图形，把新问题转化为我们已经会解决的问题．③可以通过画平行线实现拼图中的搬动三角形的两个角，以利于学生体会添辅助线有必要、有意义．在小组汇报和学生表达时，应让学生充分交流证明的思路，在交流中发展有条理思考和有条理表达的能力．

（自学指导是学习目标的具体化,让学生通过自学自主探索掌握知识,体现“以学生为主体，以学生自学为主要学习方式”的新课程理念,同时有了自学指导可以避免学生盲目看书，让学生的自学更有效果.）

学生自学,教师巡视. 为了拓展学生的思路,我还设计了过三角形的边上一点、三角形内部一点、外部一点以及过三角形三个顶点分别作平行线的方法证明.最后告诉学生,三角形内角和定理已经证明了,今后就可以直接用了,只不过需要注意书写的格式: 在△ABC中，∠A+0∠B+∠C=180(三角形三个内角0的和等于180).强调:一般地,我们不写∵△ABC,而写在△ABC中.

∠A+∠B+∠C=180(三角形三个内角的和等于180).

00

3．议一议．

如图1：∠ACD是△ABC的一个外角，那么它与不相邻的两个内角∠A、∠B之间有怎样的数量关系？为什么？

结论： ．

教师点拨：

⑴因为证明方法运用的是三角形内角和定理，所以我们才命名为“三角形内角和定理推论”．

同时强调，三角形内角和定理的推论已经证明了,今后也可以直接用．

2．格式：

⑴∵∠ACD是△ABC的外角，

∴∠ACD=∠A+∠B(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和). ⑵∵∠ACD是△ABC的外角，

∴∠ACD>∠A或∠ACD>∠B(三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角). 让学生从不同角度去证明三角形内角和定理的推论，既巩固了新知，同时也让学生感受到证明方法、角度的多样性，从而进一步发展学生有条理的思考、表达的能力．

这里要注意学生可生成二种结论：1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和2、三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角。（可追问）

学生回答出正确答案后出示三角形内角和定理推论，提问：如何证明？由于证明过程比较简单，估计无错误。

四、灵活运用

1例题示范：已知：如图2，AC、BD

相交于点O

．

求证：∠A

＋∠B

＝∠C

＋∠D

．

A A

B

B

O O

DCE

C F

D 图2

图3

学生独立完成，说说自己的想法．

2变式训练：如图3:∠A+∠B+∠E+∠F+∠G+∠H=_____ . 0对于1学生口答：360

教师提问：为什么？

估计学生从三个方面回答：

HG请结合以下三个问题思考：

（1）由条件你想到什么？

（2）由结论你想到什么？

（3）结合图形你想到什么？

教学中，要关注学生能否形式化的表达，同时更要关注发展学生合符逻辑的思考和有条理的表达的能力，鼓励学生主动的表达和交流．设计三个问题的目的在于引导学生学会思考问题和解决问题，教给学生分析问题的思路、方法．

1.

△ABO、△EFC、△DHG三个三角形内角和为540，利用对顶角将∠0A+ ∠B+ ∠E+ ∠F+ ∠G+ ∠H转化为两个180之和。

2.

利用三角形内角和定理推论将∠A+ ∠B+ ∠E+ ∠F+ ∠G+ ∠H转0化为△CDO的三个外角的和，即为360. 3.

利用例2的基本图形8字形作为依据将∠A+ ∠B+ ∠E+ ∠F+ ∠G+ ∠H转化为△CDO的内角和的两倍. 对于2利用例2的基本图形8字形作为依据,两次使用8字形结论.

0

五、拓展提高

已知：如图3，AD是△ABC的角平分线，E是BC延长线上一点，∠B＝∠EAC

．

求证：∠ADE

＝∠DAE

．

A

B D C E

教师点拨：

1.评书写。

2.评三角形内角和定理以及它的推论的运用. 3.总结：在遇到三角形的角的问题时，注意从外角和内角两个角度考虑。

六、智慧建构

本节课学习了哪些知识？掌握了什么技能？学到了哪些方法？获得了怎样的学习经验？

进一步引导学生从已知条件出发向结论探索，也可引导学生从结论出发向已知条件探索，或者从已知条件出发和结论两个方向互相逼近，从而进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，巩固本节课所学知识、方法．

师生互动，总结学习成果，体验知识的发生发展过程，总结提炼解决问题的方法．

七作业：1.必做教材P156第6，8题

2.选做题教材P156第7题