公因式为多项式的提公司因式法教学设计一等奖

第四章《因式分解》

4.2提公因式法（第二课时）

教学设计

教学目标：

知识与目标

1.经历探索多项式因式分解方法的过程,能在具体问题中确定多项式各项的公因式.

2.会用提公因式法把多项式分解因式(多项式中的字母指数仅限于正整数的情况).

3.进一步了解因式分解的意义,加强学生的逆向思维,并渗透化归的思想方法.

过程与方法

1.由学生自主探索解题途径,在此过程中,通过观察、对比等手段,确定多项式各项的公因式,加强学生的逆向思维,渗透化归的思想方法,培养学生的观察能力.

2.由乘法分配律的逆运算过渡到因式分解,从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式,进一步发展学生的类比思想.

3.寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法,培养学生的初步归纳能力.

情感态度与价值观

通过观察能合理地进行因式分解,并能清晰地阐述自己的观点.

教学重难点

【重点】

用提公因式法把多项式分解因式.

【难点】

探索多项式因式分解方法的过程.

教学准备

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

复习提公因式法分解因式的知识.

教学过程

导入新课

导入一: 【问题】

把下列各式分解因式: (1)8mn2+2mn; (2)a2b-5ab+9b; (3)-3ma3+6ma2-12ma; (4)-2x3+4x2-8x.

[设计意图]

回顾上一节课提取公因式的基本方法与步骤,为学生能从容地把提取的公因式从单项式过渡到多项式提供必要的基础.以板演的形式让学生回忆起提取公因式的方法与步骤,使学生真正理解基本方法和步骤.

导入二: 上节课我们学习了用提公因式法分解因式,知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式,那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢?本节课我们就来揭开这个谜.

[设计意图]

通过设问,创设情境,活跃了课堂气氛,学生对自己探讨、发现出来的知识很有成就感,学习的兴趣自然得到了提高.

新知构建

例题讲解

(教材例2)把下列各式因式分解: (1)a(x-3)+2b(x-3); (2)y(x+1)+y2(x+1)2.

〔解析〕

(1)这个多项式整体而言可分为两大项,即a(x-3)与2b(x-3),每项中都含有x-3,因此可以把x-3作为公因式提出来.(2)这个多项式整体而言可分为两大项,即y(x+1)与y2(x+1)2,每项中都含有y(x+1),因此可以把y(x+1)作为公因式提出来.

解:(1)a(x-3)+2b(x-3)=(x-3)(a+2b).

(2)y(x+1)+y2(x+1)2

=y(x+1)[1+y(x+1)] =y(x+1)(xy+y+1).

[设计意图]

引导学生通过类比将提取单项式公因式的方法与步骤推广应用于提取多项式公因式.(1)题中很明显地表明多项式中的两项都存在着x-3,通过观察,学生较容易找到第(1)题的公因式是x-3,而第(2)题的公因式是y(x+1),找到它即能顺利地进行因式分解.

(教材例3)把下列各式因式分解: (1)a(x-y)+b(y-x); (2)6(m-n)3-12(n-m)2.

〔解析〕

虽然a(x-y)与b(y-x)看上去没有公因式,但仔细观察可以看出x-y与y-x互为相反数,如果把其中一个提取一个“-”号,那么就可以出现公因式,即y-x=-(x-y).同样(m-n)3与(n-m)2也是如此.

解:(1)a(x-y)+b(y-x) =a(x-y)-b(x-y) =(x-y)(a-b).

(2)6(m-n)3-12(n-m)2

=6(m-n)3-12[-(m-n)]2

=6(m-n)3-12(m-n)2

=6(m-n)2(m-n-2).

[设计意图]

有了前面所得的规律,学生容易观察到多项式中括号内符号不同的多项式部分,并把它们转化成符号相同的多项式,再把相同的多项式作为公因式提取出来.进一步引导学生采用类比的方法由提取的公因式是单项式得出提取的公因式是多项式的方法与步骤.

(教材做一做)请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”,使等式成立: (1)2-a=

(a-2);

(2)y-x=

(x-y);

(3)b+a=

(a+b);

(4)(b-a)2=

(a-b)2;

(5)-m-n=

(m+n);

(6)-s2+t2=

(s2-t2).

解:(1)2-a=-(a-2).

(2)y-x=-(x-y).

(3)b+a=+(a+b).

(4)(b-a)2=+(a-b)2.

(5)-m-n=-(m+n).

(6)-s2+t2=-(s2-t2).

[设计意图]

学生对于符号问题的解答有一定的困难,因而需要认真比较等号两边两个多项式符号上的异同,确定它们是互为相反数还是相等关系.通过学生的反馈练习,使教师能全面了解学生对符号的转换的理解是否到位,提取公因式的方法与步骤是否掌握,以便教师能及时地进行查缺补漏.

课堂小结

本节课进一步学习了用提公因式法分解因式,公因式可以是单项式,也可以是多项式,要认真观察多项式的结构特点,从而准确熟练地进行多项式的因式分解.

检测反馈

1.把多项式(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)分解因式的结果是 (

) A.8(7a-8b)(a-b)

B.2(7a-8b)2

C.8(7a-8b)(b-a) D.-2(7a-8b) 解析:原式=(7a-8b)(3a-4b-11a+12b)=(7a-8b)(-8a+8b)=8(7a-8b)(b-a).故选C.

2.把(x-y)2-(y-x)分解因式得

(

) A.(x-y)(x-y-1) B.(y-x)(x-y-1) C.(y-x)(y-x-1) D.(y-x)(y-x+1) 解析:原式=(y-x)2-(y-x)=(y-x)(y-x-1).故选C.

3.下列各式分解因式正确的是 (

) A.10ab2c+6ac2+2ac=2ac(5b2+3c) B.(a-b)3-(b-a)2=(a-b)2(a-b+1) C.x(b+c-a)-y(a-b-c)-a+b+c=(b+c-a)(x+y-1) D.(a-2b)(3a+b)-5(2b-a)2=(a-2b)(11b-2a) 解析:A.原式=2ac(5b2+3c+1),错误;B.原式=(a-b)2(a-b-1),错误;C.原式=(b+c-a)(x+y+1),错误.故选D.

4.当n为

时,(a-b)n=(b-a)n;当n为

时,(a-b)n=-(b-a)n.(其中n为正整数)

解析:互为相反数的两数的偶次方相等,奇次方互为相反数.

答案:偶数

奇数

5.(2015·嘉兴中考)因式分解:ab-a=

.

解析:直接提取公因式a即可.ab-a=a(b-1).故填a(b-1).

6.把下列各式分解因式: (1)15x(a-b)2-3y(b-a);

(2)(a-3)2-(2a-6); (3)-20a-15ax; (4)(m+n)(p-q)-(m+n)(q+p).

解:(1)3(a-b)(5ax-5bx+y).

(2)(a-3)(a-5).

(3)-5a(4+3x).

(4)-2q(m+n).

布置作业

一、教材作业

【必做题】

教材第98页随堂练习.

【选做题】

教材第98页习题4.3.

二、课后作业

【基础巩固】

1.观察下列各组整式,其中没有公因式的是

(

) A.2a+b和a+b

B.5m(a-b)和-a+b

C.3(a+b)和-a-b

D.2x-2y和2 2.(2015·武汉中考)把a2-2a分解因式,正确的是

)

(

A.a(a-2) B.a(a+2) C.a(a2-2) D.a(2-a) 3.在括号内填上适当的式子: (1)-x-1=-(

);

(2)a-b+c=a-(

).

【能力提升】

4.把下列各式分解因式: (1)2(a-3)2-a+3; (2)3m(x-y)-2(y-x)2; (3)18(a-b)2-12(a-b)3; (4)6x(x+y)-4y(x+y); (5)a(x-a)+b(a-x)-c(x-a).

【拓展探究】

5.把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式得

A.(a-2)(m2+m) C.m(a-2)(m-1) B.(a-2)(m2-m) D.m(a-2)(m+1) (

) 6.(2015·潜江中考)已知3a-2b=2,则9a-6b=

.

7.若x+y=5,xy=2,则x2y+xy2=

.

8.已知4x2+7x+2=4,求-12x2-21x的值.

【答案与解析】

1.A(解析:B.公因式是a-b;C.公因式是a+b;D.公因式是2.故选A.) 2.A(解析:原式=a·a-a·2=a(a-2).故选A.) 3.(1)x+1

(2)b-c

4.解:(1)2(a-3)2-a+3=2(a-3)2-(a-3)=(a-3)(2a-7). (2)3m(x-y)-2(y-x)2=3m(x-y)-2(x-y)2=(x-y)(3m-2x+2y). (3)18(a-b)2-12(a-b)3=6(a-b)2(3-2a+2b). (4)6x(x+y)-4y(x+y)=2(x+y)(3x-2y). (5)a(x-a)+b(a-x)-c(x-a)=a(x-a)-b(x-a)-c(x-a)=(x-a)(a-b-c).

5.C(解析:m2(a-2)+m(2-a)=m2(a-2)-m(a-2)=m(a-2)(m-1).故选C.) 6.6(解析:∵3a-2b=2,∴9a-6b=3(3a-2b)=3×2=6.故填6.) 7.10(解析:x2y+xy2=xy(x+y)=2×5=10.故填10.) 8.解:由4x2+7x+2=4得4x2+7x=2,∵-12x2-21x=-3(4x2+7x),∴-12x2-21x=-3×2=-6.