3.1直线的倾斜角与斜率（通用）优秀教学设计内容

课题：§3.1.1 倾斜角与斜率

教学班级

教学目的

教学难点

知识重点

1618,1619 会根据直线上的两点坐标求直线的倾斜角与斜率,给出直线上的一点与它的斜率,能够画出它的图象. 倾斜角, 斜率的理解及计算. 理解倾斜角, 斜率. 教学过程

引入

1. 讨论：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢? 2. 在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢? 3. 一次函数y=kx+b中的k的意义

一、直线的倾斜角

1．在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点旋转，不管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形？画图表示

方法和手段

图1—1 2．直线倾斜角的概念：

x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角

注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.。

提问：直线的倾斜角能不能是0°？能不能是锐角？能不能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？

说明：直线倾斜角的取值范围是0180

二、直线的斜率：直线倾斜角的正切值叫直线的斜率.

常用k表示,ktan

1．已知下列直线的直线倾斜角,求直线的斜率k. ⑴a300

⑵a450

⑶a1200 ⑷a1350

2．利用图1-1讨论: （1）正切函数的定义域ktan与单调性

（2）当直线倾斜角为90度时它的斜率存在吗?.

（3）倾斜角的大小与斜率为正或负有何关系? （4）斜率为正或负时,直线过哪些象限呢? 三、斜率公式：

经过两点P1(x1,y1).P2(x2,y2)的直线的斜率公式：k

1 概念教学

y2y1.（x1≠x2）

x2x1

推导：

设直线P1P2的倾斜角是α,斜率是k，

（1）

向量P）. 1P2的方向是向上的（如图7—3（1）~（2）P1P2=(x2x1,y2y1)= OP

因直线OP的倾斜角也是α.根据正切函数的定义，tan即ky2y1

x2x1y2y1.（x1≠x2）

x2x1（2）同样，当向量P2P1的方向向上时也有同样的结论

（3）当直线与x 轴平行时,y2y1，k=0 当直线与

y轴平行时，x2x1,k不存在

说明：斜率公式的形式特点及适用范围：

①斜率公式与两点的顺序无关，②斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需求出直线的倾斜角；

③斜率公式是研究直线方程各种形式的基础，必须熟记，并且会灵活运用; ④当x1=x2,y1≠y2（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角α等于90，没有斜率. 2 、直线的方向向量

（1）直线P1P2的方向向量P1P2

=(x2x1,y2y1)

（2）当直线P1P2不与x轴垂直时，=（1，k）也是直线的方向向量

例1.（1）求经过A（－2，0）、B（－5，3）两点的直线的斜率和倾斜角.

（2）求经过A（2，1）、B（1，m2）两点的直线倾斜角的取值范围. (3)已知直线l的倾斜角为，若sin解：（1）k课堂导练

11P1P2(x2x1,y2y1)

x2x1x2x13，则直线l的斜率为

5301，就是tan1

5(2)

0180,

135.因此，这条直线的斜率是－1，倾斜角是135.

m211m21，tan1

（2）k120,0,,.

423(3)k

4

2

例2.（教材）

1.已知A3,2，B4,1，C0,1，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角？

解：AB的斜率k1BC的斜率k210，倾斜角为锐角

71<0，倾斜角为钝角

2CA的斜率为k310，倾斜角为锐角

（3）已知A1,33，B0,23，求直线AB的斜率和倾斜角

解：斜率为3，倾斜角为60

2. 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为

1,2,3的直线l1,l2,l3.

例3.当且仅当m为何值时,经过两点A(-m,6)，

B(1,3m)的直线的倾斜角为钝角？

解：3m6（m+1）〈0，

1m2

0，得（m-2）1(m)例4.已知直线l过点M（0，2），且与线段AB相交，求直线l斜率K的取值范围。

（1）A（1，4）、B（3，1）

（答案：-1/3≤K≤2）

（2）A（-2，0），B（3，1）

（答案：（2）

K≥1或K≤3）

31．已知点M3,3，N2,5，若直线l的倾斜角是直线MN的倾斜角的一半，求直线l的斜率。

kMN2tan2，tan2tan10，tan其他

tan220，215

2

1+5

,，,，tan2422所以直线l的斜率为1+5

22．若直线L的斜率K∈[-1，1]，求倾斜角的取值范围。

（答案：[0，∏/4]∪[3/4∏，∏]

小结与作业

1、直线的倾斜角（0180）2．直线的斜率ktan小结

3、直线P1P2的方向向量（不惟一）

（1）P（1，k）也是直线的方向向量

1P2

=(x2x1,y2y1)（2）作业

作业3.1.1 教学后记（实际教学效果及改进设想）

3 y2y1

x2x1

4