3.2.2 直线的两点式方程教案及板书设计

3.2.2 直线的两点式方程

设计人：谢春光

(一)教学目标

1．知识与技能

（1）掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围；

（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。

2．过程与方法

让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点.

3．情态与价值观

（1）认识事物之间的普通联系与相互转化；

（2）培养学生用联系的观点看问题。

（二）教学重点、难点：

1．重点：直线方程两点式。

2．难点：两点式方程的推导过程及特征，截距式方程的应用．

（三）教学设想

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

提出问题引入课题得出概念 1．利用点斜式解答如下问题：

（1）已知直线l经过两点P1 (1，2)，P2 (3，5)，求直线l的方程.

（2）已知两点P1 (x1，x2)，P2 (x1，x2)其中(x1≠x2，y1≠y2). 求通过这两点的直线方程. 教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化已经解决的问题？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：

（1）y – 2 = (x–1)

（2）y – y1 =

教师指出：当y1≠y2时，方程可写成

由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form）. 遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律。使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的。

概念深入 2．若点P1 (x1，x2)，P2 (x2，y2)中有x1 = x2，或y1 = y2，此时这两点的直线方程是什么？ 教师引导学生通过画图、观察和分析，发现x1 = x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为：x = x1；当y1 = y2时，直线与y轴垂直，直线方程为：y = y1. 使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式. 例 1三角形的三个顶点是A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程．

【解】

由两点式，直线AB的方程为：

y－－1x－3＝，即x＋4y＋1＝0. 0－－1－1－3

同理，直线BC的方程为：

y－3x－1＝，即2x＋y－5＝0.直线AC的方程为：

－1－33－1y－3x－1＝，即3x－2y＋3＝0. 0－3－1－1

变式训练1 三角形的三个顶点是A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,3)，求AB边的中线所在的直线方程．

x＝－12＋3＝1，解：设AB边中点为D(x，y)，则0＋－11y＝＝－.22

C，D两点横坐标相同，所以直线CD的方程为x＝1. 教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l的方程？那种方法更为简捷？然后求出直线方程：

教师指出：a, b的几何意义和截距方程的概念. 使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.

例 2求过点A(3,4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．

xy【解】

(1)当直线l在坐标轴上截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝a－a1.

34又l过点A(3,4)，所以＋＝1，解得a＝－1. a－axy所以直线l的方程为＋＝1，即x－y＋1＝0. －114(2)当直线l在坐标轴上截距互为相反数且为0时，直线的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 3综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. 变式训练2 求经过点A(－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．

解：设直线在x轴、y轴上的截距分别是a，b，

xy1则有S＝|a·b|＝1.∴ab＝±2.设直线的方程是a＋b＝1. 2－222a∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得a＋b＝1，即b＝. a＋22a22a2∴ab＝＝±2.当＝－2时，化简得a2＋a＋2＝0，方程无解；

a＋2a＋2

2a2当＝2时，化简得a2－a－2＝0，

a＋2a＝－1，a＝2解得或，

b＝－2，b＝1

xyxy∴直线方程是＋＝1或＋＝1，即2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.

21－1－2

例3

求过点A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．

【解】

当直线过原点时，它在x轴、y轴上的截距都是0，满足题意．此时，直线的斜率11为，所以直线方程为y＝x. 22xy42当直线不过原点时，由题意可设直线方程为a＋b＝1，又过点A，所以a＋b＝1①，

因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a|＝|b|②，

a＝6，a＝2，由①②联立方程组，解得或

b＝6，b＝－2.xyxy所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，

662－2化简得直线l的方程为x＋y＝6或x－y＝2. 1综上，直线l的方程为y＝x或x＋y＝6或x－y＝2. 2

变式训练3已知直线l经过点(2，－3)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．

解：设直线l在两坐标轴上的截距为a. (1)若a＝0，则直线l过原点，此时直线l的方程为

3x＋2y＝0. xy(2)若a≠0，则l的方程可设为＋＝1. aa2－3因为直线l经过点(2，－3)，知＋＝1，即a＝－1. aa所以直线l的方程为x＋y＝－1，即x＋y＋1＝0. 综上可知，直线l的方程为x＋y＋1＝0或3x＋2y＝0.

例4 某小区内有一块荒地ABCDE，今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)，进行开发(如图所示)，问如何设计才能使开发的面积最大？最大面积是多少？(已知BC＝210

m，CD＝240 m，DE＝300 m，EA＝180 m)

【解】

以BC边所在直线为x轴，AE边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，由已知可得A(0,60)，B(90,0)．

∴AB所在直线方程为

xy2＋＝1，即y＝60－x. 906032从而可设线段AB上一点P(x,60－x)，其中0≤x≤90，

3∴所开发部分的面积为S＝(300－x)(240－y)．

2故S＝(300－x)(240－60＋x) 32＝－x2＋20x＋54 000 32＝－(x－15)2＋54 150(0≤x≤90)．

32故S＝(300－x)(240－60＋x) 32＝－x2＋20x＋54 000 32＝－(x－15)2＋54 150(0≤x≤90)．

32∴当x＝15，y＝60－×15＝50时，

3Smax＝54 150 m2. 因此点P距直线AE 15 m，距直线BC 50 m时所开发的面积最大，最大面积为54 150 m2. 归纳总结：建立适当的坐标系将几何问题代数化，利用直线方程寻找x与y的关系．

变式训练4 如图所示，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李重量x(kg)的关系用直线AB的方程表示．试求：

(1)直线AB的方程；

(2)旅客最多可免费携带多少行李？

解：(1)由题图可知，点A(60,6)，B(80,10)，

所求直线AB的方程是：

y－6x－60＝，即x－5y－30＝0. 10－680－60(2)令y＝0，则x＝30. 即旅客最多可免费携带30 kg行李．

四、

归纳总结 小结

教师提出：1到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？

2要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？ 增强学生对直线方种四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）互相之间的联系的理解. 3(1)选择直线方程的形式，解决本题宜用截距式方程比较简单直接．

(2)该题信息涵盖两种情况：①直线l过原点；②直线l不过原点，解决本题必须分类讨论．

(3)求得的直线方程要进一步整理化简，最后将两类情况下的直线l的方程都写出来

五、课后作业

布置作业

课时训练第4课时