3.3.4 两条平行直线间的距离课堂实录【1】

§3.3.4 两条平行直线间的距离

【学习目标】：1.巩固点到直线的距离公式，会用公式解决有关问题.

2.掌握两平行线之间的距离公式，并会求两平行线之间的距离．

【学习重点】：会用公式解决有关问题，并会求两平行线之间的距离.

【学习难点】：会求两平行线之间的距离.

一、课前预习：（预习教材P108－P109完成下面问题）

知识点1

点到直线的距离（回顾）

1．概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．

2. 公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d知识点2

两平行直线间的距离

1．概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离．

2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离:d （通过P108的例7的方法你能推出平行线间的距离公式吗？讨论？）

【预习评价】

两条平行直线间的距离公式写成d＝二、课堂探究

题型二

两平行线间的距离公式的应用

方向1

求两平行线间的距离

【例2－1】

求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离．

3253解：由题意，将l2的方程化为3x＋5y＋＝0，∴d＝22＝＝34. 234683＋5[训练2－1] 两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于(

) 7742A．

B．

C．

D．

515153解析：l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，

由平行线间的距离公式得d＝|－6＋10|4＝.

答案

C 92＋122155|1－|2|C1－C2|时对两条直线应有什么要求？

A2＋B2|C1C2|AB22|Ax0By0C|AB22. . 方向2

由两平行直线间距离求直线的方程

【例2－2】

直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1到l2的距离为5，求l1，l2的方程．

解：(1) 若l1，l2的斜率存在，设直线的斜率为k，

由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，

由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，

则点A到直线l2的距离d＝|1＋5k|＝5，

1＋k212∴

25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝. 5∴

l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0. (2) 若l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．

综上，满足条件的直线方程有两组：

l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0

或

l1：x＝0，l2：x＝5. c＋2213[训练2－2] 若两平行直线3x－2y－1＝0与6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则的值为________．

13a36解析：由3x－2y－1＝0和6x＋ay＋c＝0平行，得＝－，所以a＝－4. 2ac所以6x－4y＋c＝0化为3x－2y＋＝0. 2c＋2213＝，解得c＝2或c＝－6.所以＝±1.

答案

±1 13a32＋－22所以

c＋12※规律方法※

两条平行直线间距离的三种求法

(1) 直接利用两平行线间的距离公式．

(2) 在一条直线上任意选取一点利用点到直线的距离公式求解(一般要选特殊的点，如直线与坐标轴的交点、坐标为整数的点)．

(3)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．

题型三

运用距离公式解决最值问题―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

【例3】

两条互相平行的直线分别过A(6,2)和B(－3，－1)两点，如果两条平行直线间的距离为d，求：

(1) d的取值范围；

(2) 当d取最大值时，两条直线的方程．

解：(1)如图，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大为

d＝|AB|＝6＋32＋2＋12＝310，

当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0＜d≤310，

即所求的d的取值范围是(0,310]．

(2)当d取最大值310时，两条平行线都垂直于AB，

11它们的斜率k＝－＝－＝－3. kAB2－－16－－3故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. ※规律方法※

几何最值问题的求法有两种：

(1) 利用解析几何知识，可设一个函数，然后用函数求最值的方法求解．

(2) 利用几何性质定理，如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边等，找出最值．

[训练3]

求过点(3,5)的所有直线中，距原点最远的直线方程．

解

法一

如图所示，设l是过点A(3,5)的任意一条直线，过O作OH⊥l，垂足为H，则有|OH|≤|OA|.当H与A点重合时，O点到直线l的距离最大，

dmax＝|OA|＝32＋52＝34.

此时，直线l与OA垂直．

5133由kOA＝，得l的斜率k＝－＝－.所以l的方程为：y－5＝－(x－3)，

3kOA55即3x＋5y－34＝0. 法二

设过点(3,5)的直线方程为y－5＝k(x－3)或x＝3.对于y－5＝k(x－3)，

原点(0,0)到它的距离d＝|3k－5|，

k2＋1化简整理得(9－d2)k2－30k＋25－d2＝0. 当9－d2≠0时，因k∈R，

∴Δ＝(－30)2－4(9－d2)(25－d2)≥0. 解得0≤d≤34(且d≠3)．

对于x＝3，原点到它的距离d＝3. 因此，过点(3,5)的所有直线与原点的距离d∈[0，34]．

故dmax＝34，当d＝34时，|3k－5|＝34，

k2＋133解得k＝－.故所求直线方程为：y－5＝－(x－3)，

55即3x＋5y－34＝0. 课堂小结

1．两条平行直线间的距离

(1) 这个距离与所选点的位置无关，但一般要选取特殊的点(如：与坐标轴的交点)．

(2) 两条平行直线间的距离公式：d|C1C2|AB22．

2．几何最值问题的求法有两种：（1）

几何性质定理

．（2）

函数求最值

．

3．求直线方要分

存在和不存在两种情况．

三、课堂达标

1．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：3x＋4y－7＝0间的距离等于

．

答案

1

2．两平行线分别经过点A(3,0)，B(0,4)，它们之间的距离d满足的条件是(

) A．0

当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大为|AB|＝5，所以0

B

3．若O(0,0)，A(4，－1)两点到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a＝________. |4a－a2＋6|62解析

由题意得24＝6，

24，即4a－a＋6＝±a＋aa＋a解得a＝0或－2或4或6.检验得a＝0不合题意，

所以a＝－2或4或6.

答案

－2或4或6

作业：P129－P130 板书设计：

§3.3.4 两条平行直线间的距离

知识要点

知识点1

知识点2

例1

例2

例3

课堂达标

教学反思：