3.3.4 两条平行直线间的距离教学设计一等奖

3.3.4

两条平行直线间的距离

学习目标

1.掌握两平行线之间的距离公式

2.并会求两平行线之间的距离(重、难点)．

知识点

两平行直线间的距离

1．概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离．

2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d|C1－C2|＝2．

A＋B2【预习评价】

两条平行直线间的距离公式写成d＝|C1－C2|时对两条直线应有什么要求？

A2＋B2提示

两条平行直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等.

考查方向

方向1

求两平行线间的距离

【例1－1】

求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离．

3253解

由题意，将l2的方程化为3x＋5y＋2＝0，∴d＝2＝＝34. 268343＋5方向2

由两平行直线间距离求直线的方程

【例1－2】

直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，且l1到l2的距离为5，求l1，l2的方程．

解

(1)若l1，l2的斜率存在，设斜率为k，

由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，

由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，

即kx－y－5k＝0，

5|1－2|

题型

一

两平行线间的距离公式的应用

|1＋5k|则点A到直线l2的距离d＝＝5，

1＋k212∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝5. ∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0. (2)若l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．

综上，满足条件的直线方程有两组：

l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5. 规律方法

两条平行直线间距离的三种求法

(1)直接利用两平行线间的距离公式．

(2)在一条直线上任意选取一点利用点到直线的距离公式求解(一般要选特殊的点，如直线与坐标轴的交点、坐标为整数的点)．

(3)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．

题型二

运用距离公式解决最值问题

【例2】

两条互相平行的直线分别过A(6，2)和B(－3，－1)两点，如果两条平行直线间的距离为d，求：

(1)d的取值范围；

(2)当d取最大值时，两条直线的方程．

解

(1)如图，

当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，为d＝|AB|＝（6＋3）2＋（2＋1）2＝310；

当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0＜d≤310，

即所求的d的取值范围是(0，310]．

(2)当d取最大值310时，两条平行线都垂直于AB，

1它们的斜率k＝－k＝－AB1＝－3. 2－（－1）6－（－3）故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 规律方法

几何最值问题的求法有两种：

(1)利用解析几何知识，可设一个函数，然后用函数求最值的方法求解．

(2)利用几何性质定理，如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边等，找出最值．

【训练2】

求过点(3，5)的所有直线中，距原点最远的直线方程．

解

法一

设过点(3，5)的直线方程为y－5＝k(x－3)或x＝3.对于y－5＝k(x－3)，

原点(0，0)到它的距离d＝|3k－5|，

k2＋1化简整理得(9－d2)k2－30k＋25－d2＝0. 当9－d2≠0时，因k∈R，

∴Δ＝(－30)2－4(9－d2)(25－d2)≥0. 解得0≤d≤34(且d≠3)．

对于x＝3，原点到它的距离d＝3. 因此，过点(3，5)的所有直线与原点的距离d∈[0，34]．

故dmax＝34，当d＝34时，|3k－5|＝34，

k2＋133解得k＝－.故所求直线方程为：y－5＝－(x－3)，

55即3x＋5y－34＝0. 法二

如图所示，设l是过点A(3，5)的任意一条直线，过O作OH⊥l，垂足为H，则有|OH|≤|OA|.当H与A点重合时，O点到直线l的距离最大，

dmax＝|OA|＝32＋52＝34. 此时，直线l与OA垂直．

5133由kOA＝3，得l的斜率k＝－k＝－5.所以l的方程为：y－5＝－5(x－3)，

OA即3x＋5y－34＝0.

课堂达标

1．已知点(a，1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为(

) A．1

解析

由题意知

B．－1

|a－1＋1|＝1，

12＋12

C.2

D．±2 即|a|＝2，∴a＝±2. 答案

D 2．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于(

) 7A.5

7

B.15

4

C.15

2

D.3

解析

l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，

由平行线间的距离公式得d＝答案

C 3．光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2，10)，则光线从A到B的距离为(

) A．52

B．25

C．510

D．105 |－6＋10|422＝15. 9＋12解析

∵点A关于x轴的对称点为A′(－3，－5)，

∴|A′B|＝（－3－2）2＋（－5－10）2＝510，

由光的反射理论可知，

此即为光线从A到B的距离．

答案

C 4．已知两点A(－3，－2)和B(－1，4)到直线x＋ay＋1＝0的距离相等，则实数a为________．

解析

∵两点A(－3，－2)，B(－1，4)到直线l：x＋ay＋1＝0的距离相等，

|－3－2a＋1||－1＋4a＋1|∴＝，化为|2a＋2|＝|4a|. 22a＋1a＋1∴2a＋2＝±4a，

1解得a＝1或－3. 1答案

1或－3

5．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，

(1)点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；

(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值．

解

(1)经过两已知直线交点的直线系方程为

(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，

∵点A(5，0)到l的距离为3，

|10＋5λ－5|∴＝3. （2＋λ）2＋（1－2λ）21即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2，或λ＝2，

∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0. 2x＋y－5＝0，x＝2，(2)由解得所以交点P的坐标为(2，1)，如图，

x－2y＝0，y＝1，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA| (当l⊥PA时等号成立)．

∴dmax＝|PA|＝10.

课堂小结

1．对两条平行直线间的距离的两点说明

(1)这个距离与所选点的位置无关，但一般要选取特殊的点(如与坐标轴的交点)．

(2)两条平行直线间的距离公式．

除了将两平行直线间的距离转化为点到直线的距离求解外，还可以利用两条平行|C2－C1|直线间的距离公式d＝2. A＋B2