2.1.4 平面与平面之间的位置关系教学设计(第一课时)

畅游学海敢搏风浪誓教金榜题名。决战高考，改变命运。凌风破浪击长空，擎天揽日跃龙门2.1.4 平面与平面的位置关系

教学目标: 1.从直线与直线、直线与平面的各种位置关系，类比联想平面与平面的位置关系；

2.通过直观感知、操作确认的方法得出两个平面的位置关系，并给出相应的定义；

3.会用文字语言、符号语言、图形语言表示两个平面的位置关系；

4.按照“直观感知—操作确认—思辨论证”的认识过程展开教学活动，培养和发展学生的几何直觉，运用图形语言、符号语言进行交流的能力、空间想象能力与一定的推理论证能力．

教学重点:平面与平面的位置关系．

教学难点:用图形语言表示两个平面的位置关系、两个平面相交时,交线的作法．

教学过程: 一、

复习旧知

引出课题

空间几何体各式各样，千姿百态，如何认识和把握它们呢？一般的方法是，从构成几何体的基本元素——点、直线、平面入手，研究它们的性质以及相互之间的位置关系．通过学习，我们知道空间中直线与直线的位置关系有：共面直线（相交直线、平行直线）、异面直线；空间中直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线在平面外（直线与平面相交、直线与平面平行），那么平面与平面的位置关系有哪些呢？

二、

直观感知、思辨论证

生活中处处给我们以平面与平面位置关系的形象，譬如教室的天花板与地面的关系、左面与地面的关系等等．我们也可以通过动手操作直观的感受平面与平面的位置关系．

生活实例直观感知：拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？

学生1：平行、相交．

师：请你摆放出这两种位置关系的模型．

学生1:用书本摆放这两种位置关系的模型．

师：这样的模型表示两个平面的哪种位置关系？

学生2：相交．

师：这两本书既没有公共点又感觉不平行，为什么说它们是相交的呢？

学生2：因为平面是无限延展的，所以这两本书所在的平面是相交的．

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我们还可以通过几何体模型直观的感受平面与平面的位置关系．

平行六面体模型直观感知：如图，围成平行六面体ABCDABCD的六个面，两两之间的位置关系有几种？

D1C1A1DB1CAB

学生3：平行、相交．

通过生活实例以及对平行六面体模型的观察、思考，我们可以看出，两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：

（1）

两个平面平行；

（2）

两个平面相交．

师:两个平面平行如何定义？

学生4：两个平面没有公共点．

师：直线与直线平行，直线与平面平行也是这样定义的吗？

学生5：当直线与平面没有公共点时，直线与平面平行；当直线与直线没有公共点时，直线与直线平行或异面．

师：用定义法判断两个平面平行关系，可行性如何？

学生6：因为平面是无限延展的，所以要说明两个平面没有公共点是一件很难的事情．

师：理解的很好,我们在现实生活中看到的平面实际上是平面的局部形状,两个平面的局部没有公共点并不代表着它们延展之后也没有公共点,所以用定义法判断两个平面平行关系是比较困难的．

师：两个平面平行的图形语言如图,画两个互相平行的平面时,为了突出直观性,要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行; 两个平面平行的符号语言是α//β．

师:两个平面相交如何定义？

学生7：两个平面有公共点时，两个平面相交．

师：这里的“有”该怎么理解？

学生7：“有”应该是“存在”的意思．

师：用定义判断两个平面是否相交，可行性如何？

学生8：只需要找到一个公共点，可行性强．

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师：当两个平面相交时，公共点有几个？它们是如何分布的．

学生9：有无穷多个，分布在一条直线上．

师：有依据吗? 学生9：有，公里3．

师：你能复述一下公理3吗? 学生9：:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

师：很好，根据公理3，两个平面相交时公共点的轨迹是一条直线，因此两个相交平面的图形语言如图所示：

看不见的线用虚线表示，符号语言记为：αβl,或αβEF．

三、

动手操作

理解定义

例1 如图，试根据下列要求，把被遮挡的部分改为虚线,并动手摆出这两个图形语言表达的模型：

（1）

线段AB没有被平面α遮挡；

A

（2）线段AB被平面α遮挡．

aBAaB

本例设计意图:把两个相交平面的图形语言转化为现实中的模型,培养学生的空间想象能力．

教具设计及教学方法:四块平面模型，屏幕上投影题目与图形,两块小黑板上给出图形,两个学生上台动手画图,并利用模型摆放出这两种图形对应的位置关系．

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例2 已知平面α，β,直线a,b,且α//β,aα,bβ,则直线a与直线b具有怎样的位置关系?你能用模型摆放它们的位置关系并用学过的定义，定理或者公理证明你的操作结果吗？

本例设计意图:把题设中几何元素之间位置关系的符号语言转化为图形语言,培养学生运用图形语言、符号语言进行交流的能力;本题考查了两个平面的位置关系的定义,从高维(面面位置关系)到低维(线线位置关系)的转化．

答：α//β 直线a,b没有公共点

直线a与直线b是平行直线或异面直线．

例3 一个平面把空间分成几部分?两个平面把空间分成几部分? 三个平面把空间分成几部分?你能用图形语言给出这些结论吗? 本例设计意图:本题考查了学生的空间想象能力,以及把空间想象能力转化为用图象语言表达的能力, 也可引导学生类比低维的一个问题:一条直线把平面分成几部分? 二条直线把平面分成几部分?三条直线把平面分成几部分?因此本题也在两个平面位置关系的基础上,考查了分类讨论的思想,以及类比联想、降维的数学思想方法．

答: 一个平面把空间分成二部分;两个平面把空间分成3或者4部分; 三个平面把空间分成4,或6,或7,或8部分．

四、

小结提炼 自主提升

小结提炼：

1.

当两个平面没有公共点时这两个平面是平行的，这个定义简洁明了，但是在判断两个平面是否平行时操作性差，同学们课后思考一下，是否存在着一个操作性强的方法，能够用来判断两个平面是否平行？

2.

只要找到一个公共点就能够说明两个平面是相交的，两个平面的交线是经过该点的直线，因此要作出两个平面的交线，还需要找到另外一个公共点．这两个公共点怎么找？这是本节课的难点之一，请同学们自主探索线面的练习，动手画一画：

练习：如图所示，G是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E,F是棱AB，BC的中点．试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．

(1)过点G及AC；(2)过三点E,F,D1．

本例设计意图:

两个平面相交时,交线的作法是本节课的教学难点，公里3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线．应用公里3得到以下结论：两个相交平面内各有一条直线，如果这两条直线相交，则交点在两个平面的交线上．本例把

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一部分教学难点移到课外,主要是让学生有充足的时间去思考、探索，动手作图，积累宝贵的碰壁经历，从而逐步认识到立体几何思维的严密性．

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