1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教案（名师）

1.柱体、锥体、台体的表面积

(1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积

S直棱柱侧＝__________，S正棱锥侧＝__________，

S正棱台侧＝__________(其中C，C′为底面周长，h为高，h′为斜高).

(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积

S圆柱侧＝________，S圆锥侧＝________，S圆台侧＝________

(其中r，r′为底面半径，l为母线长).

(3)柱或台的表面积等于________与__________的和，锥体的表面积等于________与__________的和.

2.柱体、锥体、台体的体积

(1)棱柱、棱锥、棱台的体积

V棱柱＝__________，V棱锥＝__________，V棱台＝__________

(其中S，S′为底面积，h为高).

(2)圆柱、圆锥、圆台的体积

V圆柱＝__________，V圆锥＝__________，V圆台＝__________

(其中r，r′为底面圆的半径，h为高).

3.球的表面积与体积

(1)半径为R的球的表面积S球＝________.

(2)半径为R的球的体积V球＝________,________).

自查自纠：

111.(1)Ch

2Ch′

2(C＋C′)h′

(2)2πrl

πrl

π(r＋r′)l

(3)侧面积

两个底面积

侧面积

一个底面积

112.(1)Sh

3Sh

3h(S＋SS′＋S′)

1122(2)πr2h

3πr2h

3πh(r＋rr′＋r′)

4323.(1)4πR

(2)3πR

圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为(

) A.6π(4π＋3)

B.8π(3π＋1) C.6π(4π＋3)或8π(3π＋1)

D.6π(4π＋1)或8π(3π＋2) 解：分两种情况：①以边长为6π的边为高时，4π为圆柱底面周长，则2πr＝4π，r＝2，∴S底＝πr2＝4π，S侧＝6π×4π＝24π2，S表＝2S底＋S侧＝8π＋24π2＝8π(3π＋1)；②以边长为4π的边为高时，6π为圆柱底面周长，则2πr＝6π，r＝3.∴S底＝πr2＝9π，S表＝2S底＋S侧＝18π＋24π2＝6π(4π＋3).故选C.

正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为(

) 224A.32

B.2

C.3

D.32 解：∵正三棱锥的侧面均为直角三角形，故侧面为等腰直角三角11形，且直角顶点为棱锥的顶点，∴侧棱长为2，V＝3×2×(2)2×22＝3.故选C.

(2014·安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积是(

) 2347A.3

B.6

C.6

D.7 解：如图示，

由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥1123后余下的部分，其体积V＝8－2×3×2×1×1×1＝3.故选A.

长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB＝2，AD＝3，AA1＝1，则球面面积为________.

解：∵长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，则

外接球的直径是长方体的体对角线，而长方体的体对角线的长为AB2＋AD2＋AA21＝22，∴半径R＝2.

∴S球＝4πR2＝8π.故填8π.

(2014·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为____________m3.

解：由三视图可知，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V120π320π22＝π×1×4＋3π×2×2＝3m.故填. 3

类型一

空间几何体的面积问题

如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.若BD＝1，求三棱锥D-ABC的表面积.

解：∵折起前AD是BC边上的高，

∴沿AD把△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥BD.

又∠BDC＝90°.

DB＝DA＝DC＝1，∴AB＝BC＝CA＝2.

11从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝2×1×1＝2，

13S△ABC＝2×2×2×sin60°＝2.

133＋3∴三棱锥D-ABC的表面积S＝2×3＋2＝2.

点拨：

充分运用图形在翻折前后的不变性，如角的大小不变，线段长度不变等.

已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形.求该几何体的侧面积S.

解：由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥P-ABCD，有两个侧面PAD，PBC是全822等的等腰三角形，且其中BC边上的高为h1＝4＋2＝42，



另两个侧面PAB，PCD也是全等的等腰三角形，

622AB边上的高为h2＝4＋2＝5，

11因此S＝22×6×42＋2×8×5＝40＋242.

类型二

空间旋转体的面积问题

如图，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是______.

解：如图，

设球的一条半径与圆柱相应的母线的夹角为α，圆柱侧面积S＝

π2π×4sinα×2×4cosα＝32πsin2α，当α＝4时，S取最大值32π，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为32π.故填32π.

点拨：

根据球的性质，内接圆柱上、下底面中心连线的中点为球心，且圆柱的上、下底面圆周均在球面上，球心和圆柱的上、下底面圆上的点的连线与母线的夹角相等，这些为我们建立圆柱的侧面积与上述夹角之间的函数关系提供了依据.

圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是____________cm2.

解：如图示，设上底面周长为c.

∵扇环的圆心角是180°，∴c＝π·SA.

又∵c＝2π×10＝20π，

∴SA＝20.同理SB＝40.

∴AB＝SB－SA＝20，

∴S圆台侧＝π(10＋20)·AB

＝600π(cm2).故填600π.

类型三

空间多面体的体积问题

如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为(

)

23A.3

B.3

解：如图，

43C.3

D.2

过A，B两点分别作AM，BN垂直于EF，垂足分别为M，N，连接DM，CN，可证得DM⊥EF，CN⊥EF，则多面体ABCDEF分为三部分，即多面体的体积VABCDEF＝VAMD­BNC＋VE­AMD＋VF­BNC.

依题意知AEFB为等腰梯形.

1易知Rt△DMERt△CNF，∴EM＝NF＝2.

3又BF＝1，∴BN＝2.

2作NH垂直于BC，则H为BC的中点，∴NH＝2.

12∴S△BNC＝2·BC·NH＝4.

12∴VF­BNC＝3·S△BNC·NF＝24，

222VE­AMD＝VF­BNC＝24，VAMD­BNC＝S△BNC·MN＝4.∴VABCDEF＝3，故选A.

点拨：

求空间几何体体积的常用方法为割补法和等积变换法：①割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出要求的几何体的体积；②等积变换法：特别的，对于三棱锥，由于其任意一个面均可作为棱锥的底面，从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”.

(2014·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

) A.12

B.18

C.24

D.30

解：由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥得111到的.所以该几何体的体积为V＝2×3×4×5－3×2×3×4×3＝24.故选C.

类型四

空间旋转体的体积问题

已知某几何体的三视图如图所示，其中，正(主)视图、侧(左)视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与其内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为(

) 2π14π1A.3＋2

B.3＋6

2π12π1C.6＋6

D.3＋2

解：由三视图可得该几何体的上部是一个三棱锥，下部是半球，2311142π根据三视图中的数据可得V＝2×3π×＋3×2×1×1×1＝621＋6.故选C.

点拨：

根据已知三视图想象出该几何体的直观图，然后分析该几何体的组成，再用对应的体积公式进行计算.

(2014·课标Ⅱ)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(

)

175101A.27

B.9

C.27

D.3

解：原来毛坯体积为：π·32·6＝54π(cm3)，由三视图知该零件由左侧底面半径为2cm，高为4cm的圆柱和右侧底面半径为3cm，高为2cm的圆柱构成，故该零件的体积为：π·22·4＋π·32·2＝34π(cm3)，切削掉部分的体积为54π－34π＝20π(cm3)，故切削掉部分的体积与原20π10来毛坯体积的比值为54π＝27

.故选C.

1.几何体的展开与折叠

(1)几何体的表面积，除球以外，都是利用展开图求得的，利用空间问题平面化的思想，把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法.

(2)多面体的展开图

①直棱柱的侧面展开图是矩形；

②正棱锥的侧面展开图是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多边形；

③正棱台的侧面展开图是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多边形.

(3)旋转体的展开图

①圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长(或宽)是底面圆周长，宽(或长)是圆柱的母线长；

②圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径长是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长；

③圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的上、下底面周长.

注：①圆锥中母线长l与底面半径r和展开图扇形中半径和弧长间的关系及符号容易混淆，同学们应多动手推导，加深理解.②圆锥11和圆台的侧面积公式S圆锥侧＝2cl和S圆台侧＝2(c′＋c)l与三角形和梯形

的面积公式在形式上相同，可将二者联系起来记忆.

2.空间几何体的表面积的计算方法

有关空间几何体的表面积的计算通常是将空间图形问题转化为平面图形问题，这是解决立体几何问题常用的基本方法.

(1)棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积可以分别求各面面积，再求和，对于直棱柱、正棱锥、正棱台也可直接利用公式；

(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算其侧面积时需将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和；

(3)组合体的表面积应注意重合部分的处理.

3.空间几何体的体积的计算方法

(1)计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面特别是轴截面，将空间问题转化为平面问题求解.

(2)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、还台为锥法等，它们是计算一些不规则几何体体积常用的方法，应熟练掌握.

(3)利用三棱锥的“等体积性”可以解决一些点到平面的距离问题，即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高，通过将其顶点和底面进行转化，借助体积的不变性解决问题.

1.已知圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥体积为(

) 2π3πA.2

B.2π

C.3

D.3π

解：易知圆锥的底面直径为2，母线长为2，则该圆锥的高为13π2222－1＝3，因此其体积是3π·1×3＝3.故选C.

2.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体对角线的长是(

) A.23

B.32

C.6

D.6 解：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则有ab＝2，ac＝3，bc＝6，解得a＝1，b＝2，c＝3，则长方体的体对角线的长l＝a2＋b2＋c2＝6.故选D.

3.(2014·辽宁)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)

A.8－2π

πC.8－2

B.8－π

πD.8－4

1解：直观图为棱长为2的正方体割去两个底面半径为1的4圆柱，1其体积V＝2－2×4×π×12×2＝8－π.故选B.

4.将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，得到四面体A-BCD，则四面体A-BCD的外接球的表面积为(

) A.25π

B.50π

C.5π

D.10π

解：由题设知AC为外接球的直径，∴2R＝32＋42＝5，S表＝4πR252＝4π×2＝25π.故选A.

5.设M，N是球O半径OP上的两点，且NP＝MN＝OM，分别过N，M，O作垂直于OP的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为(

) A.3∶5∶6

B.3∶6∶8

C.5∶7∶9

D.5∶8∶9 解：设球的半径为R，以N，M为圆心的圆的半径分别为r1，r2.由题知M，N是OP的三等分点，三个圆的面积之比即为半径的平方222RR5R8R22222比，在球的轴截面图中求得r2，r1＝R－3＝2＝R－3＝99，5R28R2故三个圆的半径的平方比为9∶9∶R2＝5∶8∶9 ，故选D.

6.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(

) 2322A.6

B.6

C.3

D.2

3

3解法一：△ABC的外接圆的半径r＝3，点O到面ABC的距离626d＝R2－r2＝3，SC为球O的直径⇒点S到面ABC的距离为2d＝3.113262故此棱锥的体积为V＝3S△ABC×2d＝3×4×3＝6.

13解法二：V<3S△ABC×2R＝6，排除B，C，D，故选A.

7.(2014·山东)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________.

11解：设该六棱锥的高是h，则V＝3×2×2×3×6×h＝23，解12得h＝1.∴侧面三角形的高为1＋（3）＝2，∴侧面积S＝2×2×2×6＝12.故填12.

8.(2014·江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积S19V1分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且S＝4，则V的值是22____________.

S19解：设两圆柱底面半径为r1，r2，两圆柱高为h1，h2，由S＝4，2r132πr1h1h1r22V1S1h1＝，又两圆柱侧面积相等，∴＝1，则＝＝，故r222πr2h2h2r13V2＝S2h29233＝4×3＝2.故填.

29.一个直角梯形上底、下底和高之比为2∶4∶5，将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，求这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比.

解：由题意可设直角梯形上底、下底和高为2x，4x，5x，它们分别为圆台的上、下底半径和高.如图示，过点B作BC⊥OA于C，则Rt△ABC中，AC＝OA－OC＝OA－O′B＝4x－2x＝2x，BC＝O′O＝5x，∴AB＝AC2＋BC2＝（2x）2＋（5x）2＝3x.∴S上∶S下∶S侧＝[π(2x)2∶[π(4x)2]∶π(2x＋4x)×3x]＝2∶8∶9.

10.(2014·上海)底面边长为2的正三棱锥P-ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3.如图，求△P1P2P3的边长及三棱锥的体积V.

解：由正三棱锥P-ABC的性质及其表面展开图是△P1P2P3可知A，B，C分别是△P1P2P3三边的中点，且AB＝AC＝BC＝2.依三角形中位线定理可得P1P2＝P2P3＝P1P3＝2AB＝4.易判断正三棱锥P-ABC为222棱长为2的正四面体，其体积为V＝12×23＝3.(正四面体体积公式可见8.1名师点津4)

11.一个圆锥的底面半径为R＝2，高为H＝6，在这个圆锥内部有一个高为x的内接圆柱.当x为何值时，圆柱的表面积最大？最大值是多少？

解：如图是圆锥的轴截面，设圆柱的底面半径为r，

R－rxR1则R＝H，解得r＝R－Hx＝2－3x.

∴圆柱的表面积

121S＝2π2－3x＋2π2－3xx

2329＝2π－x－＋.

229∴S是x的二次函数，且开口向下.

3∴当x＝2时，S取得最大值9π.

湖北)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从

(2013·上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有(

)

A.V1

B.V1

C.V2

D.V2

解：由已知条件及三视图可知，该几何体从上到下依次是圆台，圆柱，17π正方体，棱台，则V1＝3×1×(π＋4π·π＋4π)＝3，V2＝π×12×2128＝2π，V3＝23＝8，V4＝3×1×(4＋4×16＋16)＝3.综上可知，V2