复习参考题优秀教学设计

第六章

直线与方程

模块

内

容

直线的倾斜角与斜率

两条直线平行与垂直的判定

直线的点斜式、两点式和一般式方程

两直线的交点坐标

两点间的距离

点到直线的距离

两条平行直线之间的距离

能力层次

识记

理解

√

掌握

√

应用

备

注

包括斜率公式

包括直线的斜截式，截距式方程

数学2

√

√

√

√

√

1．直线的倾斜角和直线的斜率

(1)倾斜角：当直线l与x轴平行或重合时，规定此时直线的倾斜角为0°. 当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做l的倾斜角．倾斜角的取值范围为[0°，180°)．

(2)直线的斜率有存在和不存在两种情况：

当直线的倾斜角θ≠90°时，直线的斜率存在，且斜率k＝tan θ；

π当直线的倾斜角θ(θ≠90°)，斜率为k，则k≥0⇔θ∈0，；k<0⇔θ∈2π，π. 2(3)经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝2．两条直线平行或垂直的判定

(1)直线l1∥l2或重合⇔倾斜角α1＝α2⇔斜率存在时，k1＝k2，或斜率都不存在；

(2)直线l1∥l2⇔斜率存在时，k1＝k2且在y轴上的截距不同，或斜率都不存在且在x轴上的截距不同；

(3)直线l1⊥l2⇔斜率存在时，k1·k2＝－1，或一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在．

(4)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，且A1、A2、B1、B2都不为零．

A1B1C1①l1∥l2⇔A＝B≠C；

222y2－y1. x2－x1②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0；

A1B1③l1与l2相交⇔A≠B；

22A1B1C1④l1与l2重合⇔A＝B＝C．

2223．直线方程的形式

名称

方程形式

条件

备注

点斜式

斜截式

两点式

y－y1＝

k(x－x1)

点P(x1，y1)、

不包含垂直斜率k x轴的直线

4．两点P1(x1，y2)、P2(x2，y2)间的距离公式：|P1P2|＝y＝kx＋b 斜率k，截距b 不包含垂直x轴的直线

不包含平行或重合于两坐标轴的直线

不包括坐标（x2－x1）2＋（y2－y1）2

5．点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C|Ax0＋By0＋C|＝0的距离公式：d＝．

A2＋B26．平行直线Ax＋By＋C1＝0、Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离公式：d＝|C2－C1|．

A2＋B2

一、典型例题分析

【例1】(2015年湖南学业水平考试真题)直线x－y＋3＝0与直线x＋y－4＝0的位置关系为

(

) A．垂直

B．平行

C．重合

D．相交但不垂直

y－y1＝

y2－y1x－x1

x2－x1两点P1(x1，y1)、

P2(x2，y2)

截距式

一般式

Ax＋By＋

C＝0(A2＋

B2≠0)

xy＋＝1

ab横截距a，

纵截距b 轴，平行于坐标轴和过原点的直线

【答案】A 【例2】已知直线l1：y＝2x＋1，l2：y＝2x＋5，则直线l1与l2的位置关系是(

) A．重合

B．垂直

C．相交但不垂直

D．平行

【答案】D

【例3】(2013年湖南学业水平考试真题)经过点A(0，3)，且与直线y＝－x＋2垂直的直线方程是________________．

【答案】x－y＋3＝0

【解析】明显所求直线的斜率为1，根据点斜式求出直线方程为x－y＋3＝0.

【注意】两直线相互垂直时，当斜率都存在时，

k1·k2＝－1，但当一条直线的斜率为0(或不存在)时，另一条直线的斜率不存在(或为0)．

【例4】关于直线的倾斜角和斜率，下列说法中正确的是(

) A．任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率

B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大

C．平行于x轴的直线的倾斜角是0°

D．两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等

【答案】C 【例5】已知直线l1：2x－3y＋10＝0，l2：3x＋4y－2＝0.求：

(1)l1和l2的交点M的坐标；

(2)求过点M且与直线l3：3x－2y＋4＝0垂直的直线l的方程．

2x－3y＋10＝0，【解析】(1)由方程组

3x＋4y－2＝0，x＝－2，解得

y＝2.

即交点M坐标为(－2，2)．

3(2)又由l⊥l3，且k3＝，

22得直线l的斜率k＝－，

32∴直线l的方程为y－2＝－(x＋2)，

3即2x＋3y－2＝0. 【例6】已知△ABC的三边AB、BC、CA所在直线的方程分别是5x－y－12＝0，x＋3y＋4＝0，x－5y＋12＝0，求：

(1)经过点C且到原点的距离为7的直线方程；

(2)BC边上的高所在的直线的方程．

x＋3y＋4＝0，【解析】(1)由

x－5y＋12＝0，x＝－7，解得

即C点坐标为(－7，1)．

y＝1.当斜率存在时，设所求直线方程为y－1＝k(x＋7)，即y－kx－1－7k＝0.

|－1－7k|由原点到直线的距离d＝＝7，

1＋k224解得k＝.

724故所求直线的方程为y－1＝(x＋7)，

7即7y－24x－175＝0.

当斜率不存在时，过点C(－7，1)的直线方程为x＝－7，符合条件．

故所求直线的方程为7y－24x－175＝0和

x＝－7.

5x－y－12＝0，x＝3，(2)由得

即A(3，3)．

x－5y＋12＝0，y＝3.1因为kBC＝－，所以BC边上的高AH所在的直线的斜率k＝3，

3所以BC边上的高AH所在的直线的方程是3x－y－6＝0.

【说明】本题属于“理解”层次．对直线的可能位置作出分析后需要分类讨论时，必须分情况考虑，防止漏解．斜率、截距存在与否、为0与否等需要分类讨论．依据条件设直线方程时，要注意讨论斜率的存在性，再依次求解．求直线方程的常见方法有：①先找经过的点、截距、斜率，代入某种形式的直线方程；②先设某种形式的方程(如点斜式、斜截式等)，再由已知求系数——待定系数法．

【例7】一光线从点A(3，2)发出，经x轴反射后，通过点B(－1，6)，求反射光线所在直线方程．

【解析】据题意可得点A关于x轴的对称点为C(3，－2)，

6＋2所以反射光线BC的斜率为＝－2，

－1－3所以可设反射光线BC的直线方程为y＝－2x＋b，把点B坐标代入得b＝4，

所以反射光线所在直线的方程为y＝－2x＋4.

二、重点关注

本章重点知识有：直线的倾斜角和斜率，过两点的直线的斜率公式，直线方程，两条直线位置关系及平行与垂直的判定，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两条平行线间的距离．预计2015年，对y＝kx＋b中k，b的几何意义，

两直线平行与垂直关系的判定方法，求直线的方程将以客观题进行考查，与圆结合考解答题的可能性较大．

一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．下列直线中与直线x－2y＋1＝0平行的一条是(

) A．2x－y＋1＝0

B．2x－4y＋2＝0 C．2x＋4y＋1＝0

D．2x－4y＋1＝0 【答案】D

2．已知点A(2，m)与点B(m，1)之间的距离为13，则实数m的值为(

) A．－1

B．4 C．－1或4

D．－4或1 【答案】C

3．已知直线的方程为3x＋4y－2＝0，则这条直线的斜率为(

) 33A.

B．－

4444C.

D．－

33【答案】B 4．若直线l经过点(－1，3)，(－1，9)，则(

) A．l的斜率为0

B．l的斜率为6 C．l的斜率为－6

D．l的斜率不存在

【答案】D 5．直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有(

) A．k＞0，b＜0

B．k＞0，b＞0 C．k＜0，b＞0

D．k＜0，b＜0 【答案】A 6．平行线3x－4y－3＝0和6x－8y＋5＝0之间的距离是(

) 118A.

B.

105154C.

D.

75【答案】A 7．点P(1，2)关于x轴和y轴的对称的点依次是(

) A．(2，1)，(－1，－2) B．(－1，2)，(1，－2) C．(1，－2)，(－1，2) D．(－1，－2)，(2，1) 【答案】C 8．直线l过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程是(

) A．3x＋2y－1＝0

B．3x＋2y＋7＝0 C．2x－3y＋5＝0

D．2x－3y＋8＝0 【答案】A 二、填空题(把答案填在题中横线上) 9．已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)，则实数a的值是________．

1±5【答案】

210．已知点(a，2)(a＞0)到直线x－y＋3＝0的距离为1，则a的值为________．

【答案】2－1 11．直线y＝mx－3m＋2(m∈R)必过定点________．

【答案】(3，2) 12．点(－1，－1)到直线4x＋ay－3＝0的距离为2，则a＝______________．

5【答案】3或

3三、解答题(要求写出文字说明，证明过程或计算步骤)

13．根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般式：

1(1)经过点A(8，－2)，斜率是－；

2(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；

(3)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)；

3(4)在x轴，y轴上的截距分别是，－3. 2【答案】(1)x＋2y－4＝0

(2)y－2＝0

(3)x＋y－1＝0

(4)2x－y－3＝0 314．已知直线y＝－x＋5的倾斜角是直线l的倾斜角的大小的5倍，分别求满足下列3条件的直线l的方程．

(1)过点(3，－4)；

(2)在y轴上的截距是3. π355【解析】据题意可得直线y＝－x＋5的倾斜角是π，则直线l的倾斜角为π÷5＝，

3666π3(1)所以直线l的方程为y＝(x－3)tan－4＝x－3－4.

63π3(2)所以直线l的方程为y＝(tan)·x＋3＝x＋3. 6315．直线l过定点A(－2，3)，且与两坐标轴围成三角形的面积为4，求直线l的方程．

xy【解析】据题意可设直线l的方程为＋＝1，则

ab32－＝1，ba3a－2b＝ab，即

1|ab|＝8，|ab|＝4，23a－2b＝ab，3a－2b＝ab，所以或(此方程组无解)

ab＝8，ab＝－8，4a＝4，a＝－3，故解得或

b＝2，b＝－6.xyxy所以直线l的方程为＋＝1或＋＝1，即直线l的方程为x＋2y－4＝0，或9x＋424－6－32y＋12＝0.

四、拔高训练

16．已知点A(1，3)，B(－2，－1)，若过点P(2，1)的直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是(

) 1k≥

B．{k|k≤－2} A.k2

11k≥或k≤－2

D.k－2≤k≤

C.k22【答案】D 117．已知点A(1，1)，B(2，2)，点P在直线y＝x上，求|PA|2＋|PB|2取得最小值时P点2的坐标．

【解析】设P(2t，t)，则

|PA|2＋|PB|2

＝(2t－1)2＋(t－1)2＋(2t－2)2＋(t－2)2

＝10t2－14t＋10，

7当t＝时，|PA|2＋|PB|2取得最小值，

1077，时，|PA|2＋|PB|2取得最小值．

即P点坐标为51018．求直线x－2y－1＝0关于直线x＋y－1＝0对称的直线方程．

x－2y－1＝0，x＝1，【解析】解方程组得

x＋y－1＝0，y＝0.所以A点坐标为(1，0)为两条已知直线的交点，且所求直线也过点A(1，0)．

10，－，

在直线x－2y－1＝0上取一点B2设点B关于直线x＋y－1＝0的对称点C(x0，y0)，则有

1－＋y020＋x03＋－1＝0，22x0＝2，解得

1y0＝1，y0－－2×（－1）＝－1，x0－03即点C的坐标为2，1.

y－0x－1所以直线AC的方程为＝，

1－03－12即所求直线的方程为2x－y－2＝0. 