1.2.1 充分条件与必要条件优秀教学实录

1.2.1 充分条件和必要条件

【教学目标】

1．从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；

2．结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法；

3．培养学生的抽象概括和逻辑推理的意识．

【教学重点】构建充分条件、必要条件的数学意义；

【教学难点】命题条件的充分性、必要性的判断．

【教学过程】

一、复习回顾

1．命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则q．

2．四种命题及相互关系：

3．请判断下列命题的真假：

（1）若xy,则x2y2; （2）若x2y2,则xy; 2（3）若x1,则x1; （4）若x21,则x1

二、讲授新课

1.推断符号“”的含义：

一般地,如果“若p,则q”为真, 即如果p成立，那么q一定成立,记作:“pq”; 如果“若p,则q”为假, 即如果p成立，那么q不一定成立,记作:“pq”. ”写出下列命题：⑴若ab，则acbc；⑵若ab，则用推断符号“和acbc；

2．充分条件与必要条件

一般地，如果pq，那么称p是q的充分条件；同时称q是p的必要条件．

如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？

由上述定义知“pq”表示有p必有q，所以p是q的充分条件，这点容易理解．但同时说q是p的必要条件是为什么呢？q是p的必要条件说明没有q就没有p,q是p成立的必不可少的条件,但有q未必一定有p. 充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．它符合上述的“若p则q”为真（即pq）的形式．“有之必成立，无之未必不成立”．

必要性：必要就是必须，必不可少．它满足上述的“若非q则非p”为真（即qp）

的形式．“有之未必成立，无之必不成立”．

命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：

（1）充分不必要条件，即pq且qp；

（2）必要不充分条件，即pq且qp；

（3）既不充分又不必要条件，即pq且qp．

例1：回答下列问题中的条件与结论之间的关系：

⑴若ab，则acbc；

⑵若x0，则x20；

⑶若两三角形全等，则两三角形的面积相等．

例2．(2016·四川文)设p：实数x、y满足x>1且y>1，q: 实数x、y满足x＋y>2，则p是q的

(A

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[解析]

若x>1且y>1，则有x＋y>2成立，所以p⇒q；反之由x＋y>2不能得到x>1且y>1.所以p是q的充分不必要条件．

例3．(2016·北京昌平区高二检测)设点P(x，y)，则“x＝－3，y＝1”是“点P在直线l：x－y＋4＝0上”的

(

) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要

条件

[解析]

由x＝－3，y＝1⇒x－y＋4＝0成立，而由x－y＋4＝0⇒/x＝－3，y＝1成立，故选A．

课堂练习：判断p是q的什么条件？

（1）P:x=3,

q:x2=9; （2）P:x2=9,

q:x=3; （3）P:xy>0,

q:x>0且y>0; （4）P:xA,

q:xAB; （5）设集合A={x|x>2},B={X|X<3}

p:xA或xB ;q:xAB; （6）P:x>0;

q:x2 （7）P:m<-2;

q:方程x2-x-m=0无实根；

（8）四边形对角线相等；

q：四边形是平行四边形．

三：小结：

1、当pq时，

p是q的充分条件，q是p的必要条件。

2、充分条件的特征是：当p成立时，必有q成立，但当p不成立时，未必有q不成立。因此要使q成立，只需要条件p即可，故称p是q成立的充分条件。

3、必要条件的特征是：当q不成立时，必有p不成立，但当q成立时，未必有p 成立。因此要使p成立，必须具备条件q，故称q是p成立的必要条件。

四：作业：P.15

A组

第4题

B组第2题