3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则公开课参赛课教案

导数的计算

一、教学目标：

知识与技能：

1.掌握用函数的导数定义，推出函数的和，差，积，商的导数的方法．

2.掌握复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积

过程与方法：

引导学生通过练习熟悉求导法则及复合函数的求导；并能自主总结常见求导的步骤和方法；

情感、态度与价值：

让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神. 二、教学重点、难点

重点：熟练掌握和、差、积、商的导数运算法则，即理解并掌握复合函数的求导法则．

难点：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．

三、教学模式与教法、学法

教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．

教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．

“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线. “抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点. 学法：突出探究、发现与交流．

四、教学过程

（一）温故知新

1.基本初等函数的导数公式表

函数

导数

yc

y'0

y'nxn1

yf(x)xn(nQ*)

ysinx

y'cosx

1

2.导数的运算法则

导数运算法则

''1．f(x)g(x)f(x)g(x)

''2．f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)

''ycosx

y'sinx

y'axlna(a0)

yf(x)ax

yf(x)ex

f(x)logax

f(x)lnx

y'ex

f(x)logaxf'(x)1(a0且a1)

xlna1

xf'(x)f(x)f'(x)g(x)f(x)g'(x)3．(g(x)0)

2g(x)g(x)

'推论：cf(x)cf(x)

''

（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

3.复合函数的概念

一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yfg(x)。

复合函数的导数

复合函数yfg(x)的导数和函数yf(u)和ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

fg(x)g(x)

若yfg(x)，则yfg(x)（二）典例分析

例1求下列函数的导数：

（1）y(2x3)；（2）ye20.05x1；

（3）ysin(x)（其中,均为常数）．

2

解：（1）函数y(2x3)2可以看作函数yu2和u2x3的复合函数。根据复合函数求导法则有

yxyuux=(u2)'(2x3)'4u8x12。

（2）函数ye0.05x1可以看作函数yeu和u0.05x1的复合函数。根据复合函数求导法则有

(eu)'(0.05x1)'0.005eu0.005e0.05x1。

yxyuux=（3）函数ysin(x)可以看作函数ysinu和ux的复合函数。根据复合函数求导法则有

(sinu)'(x)'cosucos(x)。

yxyuux=例2求ysin(tanx)的导数．

解：y[sin(tanx)]cos(tanx)sec(x)2x

'2'22222xcos(tanx2)sec2(x2)

y'2xcos(tanx2)sec2(x2)

【点评】

求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．

例3求yxax2ax2的导数．

1x22ax(xa)解：y'2x2a2x22ax

x22axa2x22ax，

2222(x2ax)x2axx2axa2x22ax

y22(x2ax)'a2【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．

例4求y

＝sin4x

＋cos 4x的导数．

【解法一】y

＝sin 4x

＋cos 4x＝(sin2x

＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－＝1－12sin2 x

2131（1－cos 4 x）＝＋cos 4 x．y′＝－sin 4 x．

444

3

【解法二】y′＝(sin

4

x)′＋(cos

4

x)′＝4 sin

3

x(sin x)′＋4 cos

3x (cos x)′

＝4 sin

3

x cos x

＋4 cos

3

x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin

2

x

－cos

2

x) ＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x

【点评】

解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，

应注意不漏步．

例5曲线y

＝x（x

＋1）（2－x）有两条平行于直线y

＝x的切线，求此二切线之间的距离．

【解】y

＝－x

3 ＋x

2 ＋2 x

y′＝－3 x

2＋2 x

＋2

令y′＝1即3 x2－2 x

－1＝0，解得

x

＝－于是切点为P（1，2），Q（－1或x

＝1．

3114，－），

327过点P的切线方程为，y

－2＝x

－1即

x

－y

＋1＝0．

显然两切线间的距离等于点Q

到此切线的距离，故所求距离为

114|1|163272．

＝272五、小结

求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题. 六、作业

1.课时检测

4