3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学设计一等奖

《直线的倾斜角与斜率》教学设计

一、教学内容

直线的倾斜角与斜率（45分钟．）

二、教学目标

1、知识与技能

（1）理解直线的倾斜角与斜率的概念; （2）理解直线倾斜角的唯一性和存在性.

2、过程与方法

（1）引导帮助学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法; （2）通过知识的探究和应用，感悟有特殊到一般，一般到特殊的思想和数形结合的方法，以及“类比—猜想—证明”的过程．

3、情感态度价值观

（1）通过直线倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角和斜率关系的揭示，培养学生观察，探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力；

（2）通过直线倾斜角的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 三、教学重点与难点

1、教学重点 (1)直线的倾斜角和斜率的概念; (2)斜率公式．

2、教学难点

“直线的方程”和“方程的直线”的概念以及斜率概念的理解. 1

四、教学方法与教学手段

1、教学方法

讲练结合,讨论交流，引导发现.

2、教学手段

计算机、PPT、几何画板.

五、教学过程设计

教学

环节

教 学 内 容

动手操作: 教师

活动

学生

活动

学生

1、通过生活中熟悉的例子，引入设计

意图

让一位同学“描述”图1，其他同学根据

描述在事先准备好的白纸上做出相应的图

形，看能否作出一摸一样的？

（一）

情

境

引

入

约

4 分

钟

图1 2、

提问：你们知道用什么方法画出这个三角形吗？

（学生自学章引言的内容）

在平面几何里我们直接依据图形中点、线、面的关系研究图形的性质.现在我们采用另一种方法——坐标法.坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化为代数问题，通过2

教师

设置

聆听，

新课，激发了学生的好疑问，

动手

激发

学生

学习

兴趣．

操作，

奇心和求知思考．

欲．

2、让学生感受“坐标化”处理的精确性，并由此介绍“坐标法”的伟大发明者和“坐标法”，由此引出解析几何的主题. 3、让学生

运算研究几何图形性质的一种方法. 3、提问：在平面直角坐标系中，点（几何问题）用什么表示？

用坐标（代数问题）表示

4、提问：直线（几何问题）用什么表示？

用方程（代数问题）表示

本章首先在平面直角坐标系中给直线插上方程的“翅膀”通过直线方程研究直线之间的位置关系：平行、垂直以及两条直线的交点坐标、点到直线的距离等. 解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿和费马共同创立的.解析几何的创立是数学发展史上一个重要的里程碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期；解析几何由此成为近代数学的基础之一.课后请同学们重新阅读本章的章引言，结合今天学习的内容进一步理解解析几何的本质. 本课时我们将研究最基础的知识——直线的倾斜角和斜率，并在其学习过程中体会和感受解析几何研究问题的最基本方法和数学思想.

（二）

倾

斜

角

的

概

念

明白接下来要学习的内容及研究所采用的方法.

问题：

1、怎样描述图中迈克的倾斜程度呢？

教师

1、让学生体学生听会将生活问讲并思题转化为数考回答学问题的数

将其抽象为一条直线，这个问题就转化为如引导

何描述一条直线的倾斜程度? 分析

讲解．

问题．

学化过程．

2、通过图形

图2 图3 图4 3

以及问题串

约

4 分

钟

2、提问：先观察图2思考是不是所有的直线都有一个倾斜程度？

所有的直线都有倾斜程度. 提问：观察图3，这条直线有倾斜程度吗？为什么？

3、提问：图4的直线有倾斜程度吗？

图3的直线无倾斜程度，图4中的直线有倾斜程度；直线有没有倾斜程度需要看是否有参照物. 4、提问：观察图5，这条与x轴相交的直线形成了4个角，你更愿意选择哪个角描述直线的倾斜程度呢？

的形式，让学生明白直线是否存在倾斜程度需要有参照对象，而且在直线坐标系中一般以x轴作基准.

图5 5、动手操作：

请在图6坐标系中画出这些直线的倾斜角并用自己的语言说说倾斜角的定义.

图6 观察归纳：

根据倾斜角的定义能否写出倾斜角的取值范围（辅助一组用几何画板制作的直线旋转过程中倾斜角变化动画）？

0180或0，

4

归纳：

（1）每一条直线都有唯一一个确定的倾斜角. （2）倾斜程度相同的直线（平行直线）其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线其倾斜角不相等. 1、提问:生活中有涉及到倾斜程度的例子吗？请举例. 2、仔细观察下面两幅楼梯的图片，并回

（三）

直

线

的

斜

率

约

4 分

钟

关系？

宽度相等，高度越大，坡度越大；高度相等，宽度越大坡度越小. 6、提问：高度和坡度都不相等时怎样刻画坡度？

5

教师

学生听1、以生活中引导讲并思的例子让学答下列问题.

分析 考回答生回忆坡度讲解．

问题．

的概念并由此得出斜率的概念既接近学生的最近发展区也能够让学生体会数学来

3、提问：这两个楼梯有什么不同？

第一个楼梯平缓，第二个楼梯陡峭一些. 4、提问：用什么量来刻画它的陡峭程度源于生活又高于生活的科学文化价值. 坡度

5、提问：坡度与高度、宽度之间有什么

2、此举在于重点培养学生的逻辑推理能力,积极发挥老师的主导作呢？

高度坡度宽度

用，强调学生的主体作用．

这样我们就可以用一个“数”（比值）来刻画“倾斜程度”.相应的，在平面直角坐标系中，我们可以采用类似的方法刻画直线的倾斜程度. 坡度升高量，前进量（同时给出图形）而因为在直角三角形中正切函数的定义就是对边比邻边，这样自然引进倾斜角的正切值表示直线的斜率.

（四）

倾

斜

角

与

斜

率

的

关

系

约

4 分

钟

率. 30 （2）45

120 （4）135

2、观察思考：

教师利用《几何画板》动画演示倾斜角的变化（几何问题）引起斜率变化（代数问题），多次演示，同时让学生观察倾斜角在变化的过程中斜率的变化情况. 1、已知下列直线的倾斜角，求直线的斜1、教学生观1、通过练师演察思考

习加强对概示引

导学生观察倾斜角与斜率之间的念的理解. 2、通过几何画板动态演示培养学生的观察归纳能力同时加强学生对倾斜角与斜率内在联系的理解. 3、提问：当倾斜角从0到180变化时，关系. 斜率k是如何变化的？



90

90180的0

090取值范围

k的

取值K=0

K>0

k不存K<0 6

范围

K关

于在

单调递增

单调递增

单调性

1、提问：直线是最简单的几何图形，确1、教学生分

定一条直线的几何要素有哪些？

两个点，一个点和倾斜角

师引组讨1、创造合作导巡论，动学习的机手作.

操会，让学生通过相互交流，推导出已知两点表示斜率的方法，然而一般学生的推导可能是片面的，教师在此向学生

2、问题：你能类比坡度的定义来定义过视。

A，B两点直线的倾斜角吗？ （五）

公

式

的

探

究

约

5 分

钟

图7 （1）当为锐角时，如图7，以A，B为斜边向下构造直角三角形，使得两直角边分别垂直于两坐标轴.从而倾斜程度为：

已知直线L经过点Ax1,y1,Bx2，y2

x1x2试用A，B的坐标表示直线L的斜率.

渗透分类讨论的思想，并引出本节课的另一个内容“以数研形”.

ACy2y1纵坐标的增量yBCx2x1横坐标的增量x

180-，（2）当为钝角时，如图8，

7

tantan180-tan

图8 在直角三角形ABC中，tanACy2y1yy21BCx1x2x2x1

tany2y1x2x1，

于是可得，ky2y1x2x1

即，（3）当x1x2时，斜率不存在；此时直线与y轴平行或重合. （4）当y1y2时，斜率为零；此时直线与x轴平行或者重合. 我们把这个比值就叫做直线的斜率，记为：k. （板书）已知直线L经过点Ax1,y1,Bx2，y2ky2y1yx2x1x. 当x1x2时， 3、思考：

直线的斜率与A，B两点的顺序有关吗？为什么？

直线的斜率与A，B两点的顺序无关；因为

8

k y1y2y2y1x1x2x2x1

因此，当直线位置确定时，比值ky1y2yx1x2x

也随之确定.这样已知直线上两个点的坐标就能求出直线的斜率. 综上所述，我们得到经过两点Ax1,y1，Bx2,y2

x1x2的直线的斜率公式

（六）

问

题

解

决

约

1．5 分

钟

ky1y2x1x2

怎样描述图中迈克的倾斜程度呢？

教师

呼应情景引将其抽象为一条直线，放在直角坐标系引导

中，

学生听入，解答学讲解．

讲思考

生心中的疑惑，弥合学生心中的“缺口”，让他们体会到直线的倾斜角和斜率的价值

（1）可以量出其倾斜角再计算其斜率.

（2）可以取直线上两个点的坐标计算出

其斜率.如此一来就能描述迈克的倾斜程度

了. 例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 例1 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾教师

引导

学生

例1强化公例1、2式的直接运学生思用．

考,解

（七）

斜角是钝角还是锐角. 例

题

讲

解

略解: 直线AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜用斜决问题

角α是锐角; 率公

例2 让学直线BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角式

进行

9 约 α是钝角;

10 分

钟

直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是分析

锐角.

生掌握公式的本质，突破公式字面的意义的局限性。

讲解．

2

例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原

点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b

, c, l. 分析: 例教师

要画出经过原点的直线a, 只要再找出a引导

上的另外一点M. 而M的坐标可以根据直线a学生

的斜率确定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以根据

也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为已知

角的一边, 在x 轴的上方作45°的角, 再把条件

所作的这一边反向延长成直线即可. 略解: 分析

解决

设直线a上的另外一点M的坐标为方法：

(x,y),根据斜率公式有

1=(y－0)／(x－0)，所以 x = y 确定

一条

可令x = 1, 则y = 1, 于是点M的坐标为直线

(1,1).此时过原点和点M(1,1), 可作直线a.可以

同理, 可作直线b, c, l.(用计算机作动画演是一

示画直线过程) 点一

角，也

可以

是两点.

（八）

小

试

1.如图，图中的直线l1、l2、l3、的斜率分别为k1,k2 ,k3,则10

yl2l3xl1教师

巡视

观察

学生自根据桑代克己思考的练习律与做题．

斯金纳的强

牛

刀

约 8 分

钟

( ) A. k1< k2

A、1 B、4 C、1或3 D、1或4 3、若A（3，－2），B（－9，4），C（x，0）三点共线，则x=（ ）

A、1 B、－1 C、0 D、7 4、直线经过原点和（－1，1），则它的倾斜角为（ ）

A、45° B、135° C、45°或135° D、－45°

5、△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率. 6、若经过点P（1－a，1＋a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围. 进行

个别

辅导．

化原理设计该练习，以巩固所学．可以让学生接受不同形式的问题，感受数形结合的思想，进一步强化直线的斜率与倾斜角的相关知识. 11

1.直线的倾斜角的概念

倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°

2.直线的斜率

教师

引导

学生

思考

形成知识组块，建立良好的认知结构．

（九）

k = tanα

小

结

约

4 分

钟

3.直线的斜率公式：总结．

体会

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α

=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. ky1y2x1x2

（十）

1、根据练习课

3、B2，1的直 1、已知过点A2m，教师

学生听律和强化律后

线的倾斜角为45，求实数m的值．

作

3、B2，1的直线一变：若过点A2m，讲解．

讲记忆

原理，强化直线的斜率2、根据便是理论设置不同形式的练习,强化所学. 3、体会公式的逆用．

业

的倾斜角为135，求实数m的值．

约

1 分

钟

3、B2，1的直二变：若过点A2m，线的倾斜角为90，求实数m的值．

三变：实数m为何值时，经过两点A2m，3、B2，1的直线的倾斜角为钝角？

2、过两点（－3，1），（0，b）的直线l的倾斜角介于30°与60°之间，求实数b的取值范围．

3、已知两点A（m，3），B（2，3+23），12

3直线l的斜率是3，且l的倾斜角是直线AB1倾斜角的3，求m的值．

【板书设计】

直线的倾斜角和斜率

1.直线的倾斜角的概念

倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°

2.直线的斜率

k = tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 3.直线的斜率公式k

y1y2

x1x213