1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）名师教学实录

1.3.2

球的体积和表面积

整体设计

教学分析

本节教材直接给出了球的表面积和体积公式，并用两个例题来说明其应用.值得注意的是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上，这是高考的重点. 三维目标

掌握球的表面积和体积公式，并能应用其解决有关问题，提高学生解决问题的能力，培养转化与化归的数学思想方法. 重点难点

教学重点：球的表面积和体积公式的应用.

教学难点：关于球的组合体的计算. 课时安排

约1课时

教学过程

导入新课

球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？教师引出课题：球的体积和表面积. 推进新课------新知探究

球的半径为R，它的体积和表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么S=4πR2,V=R. 注意：球的体积和表面积公式的证明以后证明. 应用示例

例1

如图1所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：

433

图1 （1）球的体积等于圆柱体积的2；

3（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.

例2

（2006广东高考，12）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________.答案：27π

例3.（2006全国高考卷Ⅰ，理7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（

C

）

A.16π

B.20π

C.24π

D.32π

例4.（2005湖南数学竞赛，13）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为

a，则这个球的体积为_____________.答案：23a

24例5.（2007天津高考，理12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为___________. 课堂练习

1.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（

c

）

A.1倍

B.2倍

C.97倍

D.倍

542.（2006安徽高考，理9）表面积为23的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（

A

）

A.2222

B.

C.

D.

33333.（2007北京西城抽样，文11）若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9π，则球的表面积是____________.100π

课堂小结

1.球的表面积和体积. 2.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积. 3.空间几何体的表面积与体积的规律总结：

（1）表面积是各个面的面积之和，求多面体表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积.求旋转体的表面积时，可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系，注意球面不可展开. （2）在体积公式中出现了几何体的高，其含义是：

柱体的高：从柱体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为柱体的高；

锥体的高：从锥体的顶点向底面作垂线，这点和垂足间的距离称为锥体的高；

台体的高：从台体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为台体的高. 注意球没有高的结构特征. （3）利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题的常用手段. （4）柱体、锥体、台体和球是以后学习第二章

点、直线、平面位置关系的载体，高考试题中，通常是用本模块第一章的图，考查第二章的知识. （5）与球有关的接、切问题是近几年高考的热点之一，常以选择题或填空题的形式出现，属于低档题. 作业

课本本节练习 1、2、3.