3.3.1 两条直线的交点坐标名师教学视频（文字实录）

3.3.1两条直线的交点坐标

一、学习要求

1．当两条直线相交时，会求交点坐标；

2．知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解；

3.

学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力；

4．了解过两条直线交点的直线系方程的问题。

二、学习过程

【知识点一】、两条直线的交点

1．问题1：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？

即已知两条直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0相交，如何求这两条直线交点的坐标？

结论：求两直线的交点坐标只需将这两条直线的方程联立成方程组，_______________即为交点坐标. 例1：求下列两直线的交点坐标，l1：3x+4y-2=0,l2：2x+y+2=0.

例2

判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标. (1)l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0. (2)l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0. (3)l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0.

结论：在解由两直线的方程组成的方程组的时候可能出现的三种结果是：

①方程组有一组解，该解为_____________；

②方程组有无数组解，此时两直线的位置关系为________，交点个数为_____________；

③方程组无解，此时两直线的位置关系是

_________，交点个数为___________．

一般地，对于直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0，A2B2C2≠0),有

A1B1唯一解l1l2相交,

A2B2

A1xB1yC10A1B1C1方程组

无穷多解l1l2重合,A2B2C2A2xB2yC20

ABC

无解111l1l2平行.

A2B2C2

如果A1,A2,B1,B2,C1,C2中有等于零的情况，方程比较简单，两条直线的位置关系很容易确定.

1

例3：分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点：

（1）l1:2xy7，l2:3x2y70；

（2）l1:2x6y40，l2:4x12y80；

（3）l1:4x2y40，l2:y2x3．

【知识点二】、直线系方程

1.探究：当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形，图形有什么特点？

(1)共点直线系方程：经过两直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0交点的直线方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0，其中λ是待定系数.在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A2x+B2y+C2=0，因此它不能表示直线l2. (2)平行直线系：与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是

，λ是参变量. (3)垂直直线系方程：与Ax+By+C=0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是

。

例4：直线l经过原点，且经过另外两条直线2x3y80，xy10的交点，求直线l的方程．

变式：1.求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.

2

2．求经过两条直线l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交点，且与直线2x-y-1=0垂直的直线方程

例5 求证：不论m取什么实数，直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标.

变式

无论k为何值，直线(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0都过一个定点，则定点坐标为

。

三、课堂小结

1．两条直线的方程分别是

l1:A1xB1yC10，

l1:A2xB2yC20．

构成方程组

＊的解

A1xB1yC10．（＊）

A2xB2yC20一组

无数组

无解

两直线相交

两直线重合

两直线平行

两条直线的交点。直线相交的问题转化为求方程组的解的问题,且解的个数决定两条直线的位置关系.两直线的交点坐标对应的就是两直线方程所组成方程组的解. 2．直线系方程：如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，可选用直线系方程来求解.

3

四、课后作业

1．课本P109页

第1题

2．课本P109页

第2题

3．课本P109页

第3题

4．课本P109页

第5题

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