1.2.1 充分条件与必要条件特级教师教学实录

充分条件与必要条件

【教学目标】

一、知识目标

1．使学生理解充分条件、必要条件的概念；

2．能正确判断是否是充分条件或必要条件；

二、能力目标

1．通过对充分条件和必要条件的研究，使学生掌握有关的逻辑知识，以保证推理的合理性和论证的严密性；

2．通过引导学生观察、归纳，培养学生的观察能力和归纳能力；

三、情感目标

1．通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受；

2．通过对充分条件和必要条件与集合的关系的教学，建立概念间的多元联系，培养同学们多角度审视问题的习惯；

3．通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神。

【教学重难点】

重点：充分条件、必要条件的概念；

难点：充分条件、必要条件的判断；

【教学过程】

一、复习引入：

复习：命题的概念及命题的常见形式。 命题的概念：一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

命题的常见形式：“若p，则q”，我们把这种形式中的p的叫做命题的条件，q叫做命题的结论。

设计意图：通过命题概念的复习，重点强调条件与结论，为新课学习做必要的准备和铺垫。

引入：“若p，则q”为真，可以将它表示为pq； “若p，则q”为假，可以将它表示为pq；

如：“若教室里的学生是高二1班的学生，则教室里的学生是高二的学生”为真命题，

即：

教室里的学生是高二1班的学生教室里的学生是高二的学生；

又如：“若教室里的学生是高二的学生，则教室里的学生是高二1班的学生”为假命题，

即：

教室里的学生是高二的学生教室里的学生是高二1班的学生。

设计意图：命题有真有假，通过对真假两种情况的新的表述方式的引入，意在顺利实现由“已有的知识结构”转入“新知构建”的过程。

二、新知建构

1．定义：一般地，如果有pq，称p是q的充分条件，称q是p的必要条件。

例1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若x>3 ，则x>2 ；

（2）若x=1 ，则x2-4x+3=0；

上为增函数；

（3）若f(x)=x，则f(x)在，（教师引导学生体验：问题的实质是判断命题是否为真）

解：命题（1）（2）（3）都是真命题。所以，命题（1）（2）（3）中的p是q的充分条件。

问题：同学们，对于命题（1）（2）（3），我们可不可以回答q是p的必要条件呢？

答：可以称对于命题（1）（2）（3），q是p的必要条件。

设计意图：通过实例分析，将新知（充分条件、必要条件的概念）的构建过程转化为已有知识（命题真假的判断）的应用过程。 强调说明：

（1）“pq”，“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”是同一逻辑关系的三种不同描述形式，前者是符号表示，后两者是文字表示。

（2）充分条件的含义用通俗的语言来说是指“有它就行”，

即“有之必然”；必要条件的含义用通俗的语言来说是指“缺它不行”

，即“无之必不然”。

设计意图：提升学生的认识水平，试图从不同角度帮助同学们理解“充分”和“必要”。

三、巩固新知

例2、下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件? 若x=y,则x2=y2; 若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等; 若a>b,则ac>bc. 解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题. 所以,命题(1)(2)中的q是p的必要条件.

问题：像在（1）（2）两个问题中p与q的关系应如何描述？

可描述如下：若有pq，称p不是q的充分条件，称q不是p的必要条件。

设计意图：概念的否定是概念理解的重要方面，本例意在让学生在直观理解的基础上给出“充分条件”和“必要条件”的否定形式。以帮助学生全面认识和理解概念。

例3、

判断下列命题中前者是后者的什么条件？

（1）若a>b,c>d，则a+c>b+d。

（2）ax2+ax+1>0的解集为R，则0

（3）若a2>b2，则a>b。

解：(1)前者是后者的充分不必要条件。

(2)前者是后者的必要不充分条件。

(3)前者是后者的既不充分也不必要条件。

强调说明：

充分条件与必要条件判断的关键：

（1）认清条件与结论；

（2）考察pq或qp的真假。

充分条件与必要条件和集合的关系： （1）pq，相当于PQ，即

或

即：要使xQ成立，只要xP就足够了——有它就行。

（2）qp，相当于PQ，即

或

即：为使xQ成立，必须要使xP——缺它不行。

练习：回答例3中q是p的充分条件吗？

设计意图：本例的设计和应用主要目的有：（1）强调条件和结论之间的推出关系，即推出箭头的方向性；（2）从集合关系的角度帮助同学们理解“充分条件”和“必要条件”；（3）体会“充分条件”和“必要条件”的不同表述方式；（4）让学生初步体会充分条件与必要条件的四种不同类型，为下节课提前准备。

课堂活动：请同学们自己举例给出p、q并判断其二者之间存在的是否是充分条件或必要条件的关系。

四、牛刀小试

练习：判断下列各组问题中，p是不是q的充分条件以及p是不是q的必要条件？

（1）p：

xx q： x20

；

（2）p： tan=1 q：；

4（3）p：

直线l与平面内的两条相交线垂直 q：

直线l与平面垂直；

（4）p：函数f(x)满足f(0)=0 q：

函数f(x)是奇函数； 答：（1）p是q的充分条件，p不是q的必要条件；

（2）p不是q的充分条件，p是q的必要条件；

（3）p是q的充分条件，p是q的必要条件；

（4）p不是q的充分条件，p不是的q必要条件；

结合练习，引导学生归纳如下：

从练习中我们发现在p与q之间存在以下几种关系：

（1）pq且qp；

（2）qp且pq；

（3）pq且qp；

（4）pq且qp；

对于这几种关系我们应如何描述呢？下节课，我们将解决这一问题。

设计意图：反馈练习的设计，既帮助学生全面掌握本节课的学习内容，再次巩固所学知识和方法，也在前面例3的基础上明确了充分条件与必要条件涉及的四种类型，为顺利进入下节课的学习打下坚实的基础。

【课堂小结】

师生共同回顾本节课的教学过程，小结如下内容：

1．充分条件与必要条件的概念；

2．充分条件与必要条件判断的关键；

3.判别技巧：

①

可先简化命题。

②

否定一个命题只要举出一个反例即可。

③

将命题转化为等价的逆否命题后再判断。

设计意图：再现课堂，小结提升，有助于学生明确学习的重点。