3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学创新设计

【课题】直线的倾斜角与斜率 教学设计

昭通市民族中学 夏祥红

一、教学目标

1、知识目标：

（1）正确理解直线的倾斜角、斜率的概念。

(2)理解直线的倾斜角的唯一性。

(3)理解直线的斜率的存在性。

(4)了解斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。

2、能力目标

引导学生观察探索发现，培养学生的探索创新能力。 3、情感目标

通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究的目标。并体验认识事物的一般规律：从特殊到一般的过程

二、教学重点、难点及关键

重点：（1）理解直线的倾斜角与斜率的概念。

（2）经历用代数方法刻画直线斜率的过程。

（3）掌握过两点的直线的斜率的计算公式。

难点：直线的斜率概念的理解和公式斜率的推导。

关键：借助几何画板演示和对斜率公式的形成过程的讨论来突破难点。

三、教学备品

教学课件．

四、课时安排

1课时。

五、教学过程

（一）导语

我们在初中学习过不与坐标轴平行的直线可以用一次函数来表示，开口向上或向下的抛物线可以用二次函数来表示。那么如何用代数的方法来表示平面中简单图形呢？如与x轴平行或垂直的直线，开口向右或左的抛物线，圆等等。

（二）课题引入

我们先来研究直角坐标平面内最简单的几何图形——直线。首先探索确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数的方法把几何要素表示出来。

设计意图：使学生明确本课学习的内容。

（三）探究新知

1．倾斜角概念

问题1：如图1，对于平面直角坐标系内的一直线l，你认为它的

位置由哪些条件确定？

ylyOBxAxOP 问题2：如图2，在直角坐标系中，过点P的不同直线的区别在哪里？

1 图1 图2

问题3：在直角坐标系中，任何一条直线与x轴都有一个相对倾斜度，那么可以用一个什么几何量来反映一条直线与x轴的相对倾斜程度呢？为此，我们引入倾斜角的概率。当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°。

练习：

问题4：依倾斜角的定义，倾斜角的范围是什么？可通过图形让学生观察，讨论，得出结论。

l2yl1yl1p1xOOxl2 图4

因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. 问题5：如果

直线a∥b∥c,那么它们的倾斜角α相等吗? _

cy_

_

b_

a图3a

__

O_

a_

a_

x图5

答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点P和一个倾斜角α. 2．斜率概念

导语：我们已经给出了确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素，那么如何用代数的语言描述上述几何要素呢？

问题6：在日常生活中，我们有没有碰到过表示倾斜程度的量？

师生活动：引导学生在生活中举例，比如山坡、楼梯、水滑梯、飞机起飞过程等。教师适时给出这些图片。

2

问题7：（1）观察图6、7，我们发现坡越陡，坡面与地平面所成的角越大，你认为这个角的变化与图中哪个数量变化有关？（2）观察图8，坡面与地平面所成的角不变的情况下，升高量和前进量都在变化，那么你认为这个角的变化与升高量和前进量之间究竟是怎样的关系？能不能用一个数学式子来表示它们之间的关系？联系三角函数的相关知识。

BDA

B图6CDA图7C

3

BEAD图8C

问题8：从上面的讨论，我们发现，如果使用“倾斜角”的概念，“坡度”实际就是“倾斜角α的正切值”，由此你认为还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度？为此我们引入斜率的概率。我们把倾角(900)的正切值叫做直线l的斜率，用小写字母k表示，即

ktan。

例如：



3a30ktan30 300a120ktan1203 问题9：是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？由此可以得到怎样结论？通过动画演示倾斜角与斜率的变化关系。

图9

3．斜率公式（探究：由两点确定的直线的斜率）

问题10：两点确定一条直线，直线确定，倾斜角也就确定，斜率也就确定了，那么直线的斜率可以用直线上两点p1(x1,y1), p2(x2,y2)（其中x1x2）的坐标来表示，你能自己导出它们的关系吗？小组讨论，教师加以引导。 4

yP1yp2θPOP2θαxp1aOaPx

问题11：当直线与坐标轴平行或重合时,上述结论还成立吗? y图10图11yP2P1xOP1P2xO图12

图13

师生活动：总结两点式斜率计算公式：ky1y2(x1x2)。

x1x2（四）应用举例

例1 根据下面各直线满足的条件，分别求出直线的斜率：

（1）倾角为30；

（2）直线过点A(2,2)与点B(3,1)．

解 （1）由于倾斜角30，故直线的斜率为

ktantan3033．

（2）由点A(2,2)、B(3,1)，由公式8.3得直线的斜率为

ky2y1123x2x13(2)5．

【想一想】

你能求出例1（2）中直线的倾角吗？

运用知识

强化练习

（课本50页练习）

1．判断满足下列条件的直线的斜率是否存在，若存在，求出结果．

（1）直线的倾角为45；

5

（2）直线过点A(1,2)与点B(3,2)；

（3）直线平行于y轴；

（4）点M(4,2)，N(4,3)在直线上．

2．设点P(3,1)、Q(5,3)，则直线PQ的斜率为 ，倾角为 ．

（五）归纳小结

强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

（1）在本节课中，你学到了哪些新的概念？他们之间有什么关系？

（2）怎样求出已知两点的直线的斜率？

（3）从倾斜角（形）能刻画直线的倾斜程度，到斜率（数）也能刻画直线的倾斜程度，这个过程中主要体现了什么数学思想？

（六）、继续探索

活动探究

(1)读书部分：p74预读与欣赏 (2)

书面作业：教材习题8.2 A组1、2题做在课本上，3、4做在作业本上。5、6及B组为选做题

(3)

实践调查：观察生活中与斜率相关的问题

六、板书设计

例1：

课题：直线的倾斜角与斜

率（第一课时）

练习板演：

电子屏幕

1.直线

的倾斜

角的概

念

小结：

2．直线的斜率及斜率公式

七、教学评价与反思

在新的课程理念下，本着提高学生的数学视野，增强学生的数学文化修养，能够在今后的工作岗位上有意识地应用数学知识解决一些实际问题的原则，让学生全员参与到课堂中来，体现学生的主体性，要时刻让学生动脑，动手。在数学概念的教学中，从实际出发，从问题入手，通过与概念有明显联系，直观性强的实例，使学生由感性认识上升到理性认识.本节课注意提高学生的思维能力，发展学生的数学应用意识和观察能力，有效地利用多媒体(几何画板)，使学生轻松、愉悦，高效地掌握基本知识和基本技能. 通过构建以学习者为中心、有利于学生主体精神、创新能力健康发展的宽松的教学环境，提供学生自主探索和动手操作的机会，鼓励他们创新思考，亲身参与概念和方法的形成过程。由于学生基础参差不齐，所以给课堂教学中的讨论和互动以及教学进度都带来了难度，从而在导致教学时间的支配显得很紧张。

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