2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系优秀教学设计内容

2.1.3空间中直线与平面位置关系

穆振英

学习目标：

1.了解直线与平面的三种位置关系.

2.理解直线在平面外的概念.

重点:空间直线与平面的位置关系, 能用数学语言正确表达它们之间的关系.

难点:用图形表示直线与平面的位置关系.

如图,线段A1B是长方体ABCD—A1B1C1D1的一条对角线.

问题1:结合教材,分析直线A1B与长方体六个表面所在平面的关系.

(1)直线A1B上所有的点都在

平面AA1B1B 上,说明直线A1B在

平面AA1B1B 内,记作:

A1B⊂平面AA1B1B ;

(2)直线A1B与

平面CC1D1D 没有公共点,说明直线A1B与

平面CC1D1D 平行,记作:

A1B∥平面CC1D1D ;

(3)直线A1B与

平面CC1B1B 只有一个公共点,说明直线A1B与

平面CC1B1B 相交,记作:

A1B∩平面CC1B1B=B ,在长方体表面所在平面中还有三个平面与直线A1B相交,分别是

平面AA1D1D 、

平面ABCD 、

平面A1B1C1D1

;

(4)平面AA1B1B与平面CC1B1B有一条公共直线BB1,说明平面AA1B1B与平面CC1B1B相交于直线BB1,记作:

平面AA1B1B∩平面CC1B1B=BB1

;

(5)平面ABCD与

平面A1B1C1D1

没有公共部分,说明平面ABCD与

平面A1B1C1D1

平行,记作:

平面ABCD∥平面A1B1C1D1

.

问题2:根据直线与平面、平面与平面的位置关系完成下面表格.

直线与直线l在平面α内,

平面的符号语言:

位置关l⊂α

有无数个公共点

系

直线l与平面α相交于点A,

符号语言:

有一个公共点

l∩α=A

平面α与平面β平行,

平面与符号语言:

平面的α∥β

位置关平面α与平面β相交系

于直线l,

符号语言:

α∩β=l

没有公共点

有无数个公共点,且所有公共点构成了一条公共直线

问题3:两平面的位置关系的画法.

(1)两个平面平行的画法

两个平面平行时,要注意把表示平面的平行四边形画成

对应边平行

,如图①,而图②的画法则不恰当.

(2)两个平面相交的画法

①先画表示两个平面的平行四边形的相交两边.

②再画出表示两个平面交线的线段.

③过图①中线段的端点分别引线段,使它们平行且等于②中表示交线的线段.

④画出图中表示平面的平行四边形的第四边(被遮住的线,可以用虚线,也可以不画).

我们所在的教室的天花板与地面之间有什么位置关系?墙面和地面之间有什么位置关系?如果把教室的白炽灯管看作一条线段,则此线段所在的直线与地面之间有什么位置关系呢?

1.在两个平面内分别取一条直线,若这两条直线互相平行,则这两个平面的公共点个数(

).

A.有限个

B.无限个

C.没有

D.没有或无限个

【解析】两平面相交或者平行,因此这两个平面没有公共点或有无限个公共点.

【答案】D 2.一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面(

).

A.平行

B.相交

C.平行或重合

D.平行或相交

【解析】若三点在平面的同侧,则两平面平行;若三点在平面的异侧,则两平面相交.

【答案】D 3.若a⊂α,b⊂β,则a与b的位置关系是

.

【解析】可能异面,也可能存在平面γ,使a⊂γ,且b⊂γ,即a与b仍可以在同一平面内.

【答案】平行、相交或异面

4.如图,四棱锥P-ABCD,有同学说平面PAD∩平面PBC=P,这句话对吗?请说明理由.

【解析】

这种说法错误,因为两个平面相交,公共部分是一条直线,而不是一个点,图中的平面PAD与平面PBC都只是画出了其中一部分,故感觉好像只交于一点,其实也是交于一条直线.

直线与平面的位置关系

已知:如图,A∈l,A∈α,B∉α,B∈l.

求证:直线l和平面α相交.

【方法指导】可用反证法证明.

【解析】由已知直线l和α有公共点A,∴直线l不平行于平面α.假设直线l和α不相交,则l⊂α, ∵B∈l,∴B∈α,与已知B∉α矛盾, ∴假设不成立,即直线l和平面α相交.

【小结】证明点、直线、平面的位置关系时,若直接证明比较困难,则可考虑用反证法.

平面与平面的位置关系

如图,平面α∩平面β=l,直线a⊂平面α,直线b⊂平面β, 若a和b相交.

求证:a和b的交点在直线l上.

【方法指导】利用两平面的公共点都在公共直线上进行推导.

【解析】

设a∩b=A,则A∈a,A∈b, 因为A∈a,a⊂α,所以A∈α, 又因为A∈b,b⊂β,所以A∈β, 所以A∈α∩β,又因为α∩β=l, 所以A∈l,即a和b的交点在直线l上.

【小结】利用两平面相交于一条直线,可以解决三线共点和三点共线问题.

正六面体中的截面问题

如图所示,在正方体AC1中,E、F、G、H分别是所在棱的中点.E、F、G、H四点共面吗?若E、F、G、H四点共面,试画出过四点E、F、G、H的平面与正方体的截面.

【方法指导】(1)要判断四点共面可以考虑由四点能否构成相交直线或平行直线.(2)要画E、F、G、H确定的平面与正方体的截面,需画出该面与正方体各面的交线,由两点确定一条直线可知,要画交线只要找到两公共点即可,因此可先观察图中是否已经存在公共点,若存在,则再找另一个公共点即可.

【解析】连接EF,设EF与DC交于点P,由△EBF≌△PCF

可得PC=EB=AB, 同理HG与CD相交,设交点为P1,同样可得P1C=C1G=AB,即P1与P重合, 因此EF与GH相交于P点,即E、F、G、H四点共面.

作截面的关键在于作出截面与各个侧面的交线,而要确定两个平面的交线,要找到同时在两个平面上的至少两个点.延

长HG、DD1,相交于点R,延长FE交DA的延长线于点Q,则点R、Q是截面与侧面AD1的公共点,连接RQ,RQ与A1D1、A1A分别交于点M、T,连接GM、TE,可得截面与正方体各面的交线分别为EF、FH、HG、GM、MT、TE(如图所示).

【小结】截面的主要做法是交线法,即先作出截面所在的平面与多面体某一表面所在平面的交线,再找出各有关截线(或其延长线)与此交线的交点.

如果一条直线与一个平面相交,那么这条直线与平面内的直线的位置关系是

.

【答案】相交或异面

已知平面α,β满足α∥β,从点O引出两条直线l1,l2,α∩l1=A,α∩l2=B,β∩l1=C,β∩l2=D,求证:AB∥CD.

【解析】

因为l1,l2是相交直线,所以l1,l2确定一个平面,记作γ,

则A,B,C,D∈γ,所以AB,CD是共面直线, 因为α∥β,AB⊂α,CD⊂β,所以AB,CD不可能是相交直线, 所以AB∥CD.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为CC1、AA1的中点,画出平面BED1F与平面ABCD的交线,并证明.

【解析】∵F为AA1的中点,且D1F不平行DA, ∴延长D1F交DA的延长线于点M.

∵D1F⊂平面BED1F, ∴点M为平面BED1F与平面ABCD的交点, ∵点B为BED1F与平面ABCD的公共点, ∴直线MB为平面BED1F与平面ABCD的交线.

1.用符号表示“点A在直线l上,l在平面α外”,正确的是(

).

A.A∈l,l∉α

B.A∈l,l⊄α

C.A⊂l,l⊄α

【答案】B 2.已知直线a,b和平面α,下列说法中正确的是(

).

A.若a∥α,b⊂α,则a∥b

B.若a∥α,b∥α,则a∥b

C.若a∥b,b⊂α,则a∥α

D.若a∥b,a∥α,则b∥α或b⊂α

【答案】D 3.一个平面把空间分成

部分,两个平面可以把空间分成

部分.

【解析】一个平面把空间分成2部分,两个平面可以把空间分成3或4部分.

【答案】2

3或4 4.若直线l上有无数个点不在平面α内,请说明直线l与平面α可能的位置关系.

【解析】“无数个点不在平面α内”有两种情况:所有点都不在平面α内,或者可以有一点在平面α内.故直线l与平面α的位置关系为直线l在平面α外.

D.A⊄l,l⊄α

l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是(

).

A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3

B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3

C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面

D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面

【解析】对于A,直线l1与l3可能异面;对于C,直线l1、、l3可能构成三棱柱三条棱而不共面;对于D,直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面.所以选B.

【答案】B