3.1.3 空间向量的数量积运算教案2

3.1.3 空间向量的数量积运算教学设计

一、教学目标

1、了解空间向量夹角的概念及表示方法；

2、掌握空间向量数量积的计算方法及运算律；

3、能将立体几何问题转化为向量运算问题。

二、教材分析

重点：空间向量的数量积运算

难点：空间向量的数量积运算

三、教学对象分析

学生数学基础较好，已经学习过空间向量及其加减运算和空间向量的数乘运算，高一学***面向量的数量积运算，具有一定的空间向量数量积运算的基础，但是对怎样进行空间向量的数量积运算，步骤是什么还是模糊的。

四、学法指导

课前预习、自主学习新知、自我尝试解答、自主探究、互动探究、方法总结、自我当堂检测、多媒体辅助教学

五、媒体使用

多媒体

六、课前准备

教师课件、了解学生学情

七、教学基本流程

【引入】数量积运算同学们有没有在哪里学过？

【学生】在高一的平面向量的数量积运算中学过

【提问】空间向量数量积的运算与我们之前学的空间向量的加减数乘运算一样，可以借鉴平面向量的公式法则，是平面向量数量积的运算的升级版。请同学们自主完成书本上的填空。

【活动】学生自主预习，提炼新知，学生将答案填在横线空白处

1．空间向量的夹角

定义

记法

→已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角

＝a，OB__________

π范围

通常规定，0≤〈a，b〉≤π，当〈a，b〉＝时，a⊥b

2

a,b=0时，a与b有什么关系？当狁【提问】当狁a,b=p时，a与b有什么关系？

a,b=0时，a与b共线且方向相同。当狁a,b=p时，a与b【学生】当狁共线且方向相反。

【活动】学生根据学过的平面向量数量积的运算的知识填空。

2.空间向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. (2)数量积的运算律

数乘向量与向量

数量积的结合律

交换律

分配律

(λa)·b＝________

a·b＝______ a·(b＋c)＝__________

(3)数量积的性质

^bb?a·ab0

0

(1)若a，b是非零向量，则aa⊥⇔b＝两个向量数量积的性质

(2)若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；

若反向，则a·b＝－|a|·|b|；

特别地：a·a＝|a|2或|a|＝a·a

(3)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝(4)|a·b|≤|a|·|b|

a·b

|a||b|【探究】为什么会有|ab|Ｗ|a||b|？

【提示】因为cosq?[1,1]，所以|cosq|Î[0,1]，所以|a|祝|b||cosq||a|鬃|b|1，所以|ab|Ｗ|a||b|。

【自我尝试】

学生自我尝试，回答问题，并说明原因。

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(

) (2)对于非零向量a，b，〈a，b〉与〈a，－b〉相等．(

) (3)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.(

) (4)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．(

)

【学生回答】

a,b与?a,b?不相等。

教师补充（2）：如图，显然，狁

教师补充（3）：将bc移至方程左边得到ab-bc=0?b(ac)，由b¹0，所以有a-c=0?ac或b^(a-c)，而a-c可以是空间中任意一个向量，所以（3）错误。

|a||b|。

教师补充（4）：因为a与b共线的条件应该是ab=弊【活动】请同学们继续尝试回答以下问题。

2．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是(

)

→与A→A．AB′C′

→与C→B．AB′A′

→→C．AB与A′D′

→与B→D．AB′A′

3．已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，

b＝i＋j－3k，则a·b＝(

) A．－2

C．±1

B．－1 D．2

π4．已知向量a，b满足|a|＝1，且a·b＝2，a与b的夹角为，3则|b|＝________．

5．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________．

教师提问：同学们第三题选什么？

全体学生：

教师补充：在正方体里面寻找夹角为45的一组向量，容易知道答案选A。

教师提问：第3题选什么？

全体学生：

教师补充：由i,j,k是两两垂直的单位向量，所以有ij=0,ik=0,jk=0，222222并且|i|=1,|j|=1,|k|=1，所以ab=(2i-j+k)(i+j-3k)=2i-j-3k=2|i|-|j|-3|k|=-2。

教师提问：第4题填什么？

全体学生：

|b|cos教师补充：由公式：ab=|a||b|?cosq，可得2=1创p，解方程可得3|b|=4。

教师提问：第5题填什么？

全体学生：

教师补充：运用公式：cosq=狁a,b=2p.

31ab狁a,b=-，所以代入数据可得cos2|a||b|【活动】理解了数量积的定义、运算律与性质之后，我们来探究一下空间向量的数量积运算，请同学们看一下例1 。

（二）讲练互动

空间向量的数量积运算

已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．

求下列向量的数量积．

→→→→(1)BC·ED1；(2)BF·AB1.

【教师提示】第一问里看能不能找到一组基底，能将BC与ED1表示出来。

【精讲提升】

→＝a，AD→＝b，AA→＝c，

【解】

如图所示，设AB1则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.

→→→→→(1)BC·ED1＝BC·(EA1＋A1D1)

1＝b·2（c－a）＋b

＝|b|2＝42＝16.

【活动】请一位学生上黑板板书第二问的结果

(2)BF·AB1＝(BA1＋A1F)·(AB＋AA1)

1学生板书：

→→→→→→＝c－a＋2b·(a＋c)

＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.

（三）互动探究

→·→.

[变问法]若本例的条件不变，计算EFFC1→→→→→→解：EF·FC1＝(EA1＋A1F)·(FD1＋D1C1)

11→1→→→→AD＋AB

＝2（AA1－AB）＋2AD·2111＝2（c－a）＋2b·2b＋a

11b＋a

＝(－a＋b＋c)·22

11＝－|a|2＋|b|2＝2. 24

(1)空间向量运算的两种方法

①利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．

②利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．

(2)在几何体中求空间向量数量积的步骤

①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．

②利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．

③代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．

（四）跟踪训练

【活动】学生自主解答跟踪训练1。

1.已知|a|＝3，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，

则(3a－2b)·(a＋2b)＝________．

【教师点拨】

解析：(3a－2b)·(a＋2b)

＝3|a|2＋4a·b－4|b|2

＝3|a|2＋4|a||b|cos 120°－4|b|2

1＝3×9＋4×3×4×－2－4×16

＝27－24－64

＝－61.

【活动】学生自主做跟踪训练2。

2．如图，已知正四面体OABC的棱长为1.

→·→；

求：(1)OAOB→＋OB→)·→＋CB→)．

(2)(OA(CA【教师点拨】

→|＝|OB→|＝|OC→|＝1，

解：在正四面体OABC中，|OA→→→→→→〈OA，OB〉＝〈OA，OC〉＝〈OB，OC〉＝60°.

→→→→(1)OA·OB＝|OA||OB|·cos∠AOB

1＝1×1×cos 60°＝.

2

→→→→(2)(OA＋OB)·(CA＋CB)

→→→→→→＝(OA＋OB)·(OA－OC＋OB－OC)

→→→→→＝(OA＋OB)·(OA＋OB－2OC)

→→→→→→2→→＝OA2＋2OA·OB－2OA·OC＋OB－2OB·OC

1＝12＋2×－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°

2＝1＋1－1＋1－1＝1. 【教师总结】

2．空间向量的数量积的三点注意

(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定．

(2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0. k(3)空间向量没有除法运算：即若a·b＝k，则没有a＝. b（五）当堂检测

【活动】学生自主完成当堂检测，并给出答案。

1．已知|p|＝|q|＝1，且〈p，q〉＝90°，a＝3p－2q，b＝p＋q，则a·b＝(

) A．1

C．3

B．2 D．4

2．已知|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则|a＋3b|＝(

) A．7 C．13

B．10 D．4

3．若a，b，c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a－b＋2c|＝________．

4．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则

【教师点拨】求向量的模应用到模的平方等于向量的平方这一性质。

八、板书设计

（一）空间向量的夹角

（二）空间向量的数量积

1、定义

向量a与b

的夹角为________．

ab=|a||b|坠cosq（a2、数量积的运算律

（三）数量积的性质

1、a^b?ab=0

0且b?0）2、a与b共线的条件：ab=弊|a||b| 3、cosq=ab

|a||b|4、ab=|a|祝|b||cosq||a|鬃|b|1