习题3.1优质课教案内容

1.空间向量的有关概念

名称

零向量

单位向量

相等向量

相反向量

共线向量

共面向量

2.空间向量中的有关定理

(1)共线向量定理

对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ使b＝λa. (2)共面向量定理

如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理

如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xe1＋ye2＋ze3. 3.空间向量的数量积及运算律

(1)数量积及相关概念

①两向量的夹角

→→已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b概念

模为0的向量

长度(模)为1的向量

方向相同且模相等的向量

方向相反且模相等的向量

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量

平行于同一个平面的向量

表示

0

a＝b

a的相反向量为－a

a∥b

π的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，2记作a⊥b. ②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)空间向量数量积的运算律

①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；

②交换律：a·b＝b·a；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4.空间向量的坐标表示及其应用

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

数量积

共线

垂直

模

夹角

【知识拓展】

→→→1.向量三点共线定理：在平面中A、B、C三点共线的充要条件是：OA＝xOB＋yOC(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点. →→→→2.向量四点共面定理：在空间中P、A、B、C四点共面的充要条件是：OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量a，b共面.(

√

) (2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c).(

×

) (3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(

×

) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.(

×

) →→→→(5)若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0.(

√

) 向量表示

a·b

b＝λa(a≠0，λ∈R)

a·b＝0 (a≠0，b≠0) |a|

〈a，b〉

(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝坐标表示

a1b1＋a2b2＋a3b3

b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3

a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 22a21＋a2＋a3

a1b1＋a2b2＋a3b322222a21＋a2＋a3·b1＋b2＋b3

→→1.已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF的值为________. 1答案

a2

4→→→解析

如图，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为→1→160°.AE＝(a＋b)，AF＝c，

22

1111→→1∴AE·AF＝(a＋b)·c＝(a·c＋b·c)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2. 224442.(2016·苏州模拟)向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，下列结论正确的是________. ①a∥b，a∥c;

②a∥b，a⊥c；

③a∥c，a⊥b. 答案

③

解析

因为c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a，

所以a∥c. 又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，

所以a⊥b. 3.(教材改编)已知a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为________. 答案

1或－3 4＋4y＋2x＝0，解析

依题意得

24＋16＋x＝36，x＝4，x＝－4，解得或

y＝－3，y＝1.

∴x＋y＝1或x＋y＝－3. →→→4.如图，在四面体O－ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，→则OE＝________.(用a，b，c表示)

111答案

a＋b＋c

244→1→1→1→1→1→解析

OE＝OA＋OD＝OA＋OB＋OC

22244111＝a＋b＋c. 2445.(教材改编)正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________. 答案

2 →→→→→解析

∵|EF|2＝EF2＝(EC＋CD＋DF)2

→→→→→→→→→＝EC2＋CD2＋DF2＋2(EC·CD＋EC·DF＋CD·DF) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°) ＝2，

→∴|EF|＝2，∴EF的长为2.

题型一

空间向量的线性运算

例1

(1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点.

→→→→→用AB，AD，AA1表示OC1，则OC1＝________________. 1→1→→答案

AB＋AD＋AA1

22→1→1→→解析

OC＝AC＝(AB＋AD)，

22→→→1→→→∴OC1＝OC＋CC1＝(AB＋AD)＋AA1

21→1→→＝AB＋AD＋AA1. 22→→(2)三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量OA，OB，→→→OC表示MG，OG. →→→1→2→解

MG＝MA＋AG＝OA＋AN

23

1→2→→＝OA＋(ON－OA) 231→21→→→＝OA＋[(OB＋OC)－OA] 2321→1→1→＝－OA＋OB＋OC. 633→→→1→1→1→1→OG＝OM＋MG＝OA－OA＋OB＋OC

26331→1→1→＝OA＋OB＋OC. 333思维升华

用已知向量表示某一向量的方法

用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.

(2016·盐城模拟)如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四→→→边形，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

→(1)AP；

→→(2)MP＋NC1. 解

(1)因为P是C1D1的中点，

→→→→所以AP＝AA1＋A1D1＋D1P

→1→＝a＋AD＋D1C1

21→1＝a＋c＋AB＝a＋c＋b. 22(2)因为M是AA1的中点，

→→→1→→所以MP＝MA＋AP＝A1A＋AP

211＝－a＋(a＋c＋b) 2211＝a＋b＋c. 22

→→→1→→又NC1＝NC＋CC1＝BC＋AA1

21→→1＝AD＋AA1＝c＋a，

22111→→所以MP＋NC1＝(a＋b＋c)＋(a＋c) 222313＝a＋b＋c. 222

题型二

共线定理、共面定理的应用

例2

(2016·南京模拟)已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.

(1)求证：E，F，G，H四点共面；

(2)求证：BD∥平面EFGH；

→1→→→→(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有OM＝(OA＋OB＋OC＋OD). 4证明

(1)连结BG，

→→→则EG＝EB＋BG

→1→→＝EB＋(BC＋BD) 2→→→＝EB＋BF＋EH

→→＝EF＋EH，

由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面. →→→(2)因为EH＝AH－AE

1→1→＝AD－AB

221→→1→＝(AD－AB)＝BD，

22

所以EH∥BD. 又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，

所以BD∥平面EFGH. (3)找一点O，并连结OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.

→1→由(2)知EH＝BD，

2→1→同理FG＝BD，

2→→所以EH＝FG，即EH綊FG，

所以四边形EFGH是平行四边形，

所以EG，FH交于一点M且被M平分. →1→→故OM＝(OE＋OG) 21→1→＝OE＋OG

2211→→11→→＝[(OA＋OB)]＋[(OC＋OD)] 22221→→→→＝(OA＋OB＋OC＋OD). 4思维升华

(1)证明空间三点P，A，B共线的方法

→→①PA＝λPB(λ∈R)；

→→→②对空间任一点O，OP＝OA＋tAB(t∈R)；

→→→③对空间任一点O，OP＝xOA＋yOB(x＋y＝1). (2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法

→→→①MP＝xMA＋yMB；

→→→→②对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB；

→→→→③对空间任一点O，OP＝xOM＋yOA＋zOB(x＋y＋z＝1)；

→→→→→→④PM∥AB(或PA∥MB或PB∥AM). →1→

已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM＝(OA3

→→＋OB＋OC). →→→(1)判断MA，MB，MC三个向量是否共面；

(2)判断点M是否在平面ABC内. →→→→解

(1)由题意知OA＋OB＋OC＝3OM，

→→→→→→∴OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC) →→→→→即MA＝BM＋CM＝－MB－MC，

→→→∴MA，MB，MC共面. →→→(2)由(1)知MA，MB，MC共面且基线过同一点M，

∴M，A，B，C四点共面. 从而点M在平面ABC内. 题型三

空间向量数量积的应用

例3

(2016·盐城模拟)如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°. (1)求线段AC1的长；

(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；

(3)求证：AA1⊥BD. →→→(1)解

设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，

则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1. →→→→→→∵AC1＝AC＋CC1＝AB＋AD＋AA1＝a＋b＋c，

→∴|AC1|＝|a＋b＋c| ＝a＋b＋c2

＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋b·c＋c·a

＝12＋12＋22＋20－1－1＝2. ∴线段AC1的长为2. (2)解

设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，

→→ACA1D1·→→则cos θ＝|cos〈AC1，A1D〉|＝. →→|AC1||A1D|→→∵AC1＝a＋b＋c，A1D＝b－c，

→→∴AC1·A1D＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2，

→|A1D|＝b－c2＝|b|2－2b·c＋|c|2

＝12－2×－1＋22＝7. →→ACA1D－2141·∴cos θ＝＝||＝. 7→→2×7|AC1||A1D|故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为→→(3)证明

∵AA1＝c，BD＝b－a，

→→∴AA1·BD＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0，

→→∴AA1⊥BD，∴AA1⊥BD. 思维升华

(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置；

(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角；

(3)可以通过|a|＝a2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.

如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°. 14. 7

→(1)求AC1的长；

→→(2)求BD1与AC夹角的余弦值. →→→解

(1)记AB＝a，AD＝b，AA1＝c，

则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，

1∴a·b＝b·c＝c·a＝. 2111→|AC1|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×(＋＋)＝6，

222

→∴|AC1|＝6，即AC1的长为6. →→(2)BD1＝b＋c－a，AC＝a＋b，

→→∴|BD1|＝2，|AC|＝3，

→→BD1·AC＝(b＋c－a)·(a＋b) ＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，

→→BD1·AC6→→∴cos〈BD1，AC〉＝＝. 6→→|BD1||AC|6→→即BD1与AC夹角的余弦值为. 6

18.坐标法在立体几何中的应用

典例

(14分)如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点.

→(1)求BN的模；

→→(2)求cos〈BA1，CB1〉的值；

(3)求证：A1B⊥C1M.

思想方法指导

利用向量解决立体几何问题时，首先要将几何问题转化成向量问题，通过建立坐标系利用向量的坐标进行求解.

规范解答

(1)解

如图，建立空间直角坐标系.

依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，

→所以|BN|＝1－02＋0－12＋1－02＝3.

[3分]

(2)解

依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0，1,2). →→所以BA1＝(1，－1,2)，CB1＝(0,1,2)，

→→→→BA1·CB1＝3，|BA1|＝6，|CB1|＝5，

→→BA1·CB130→→所以cos〈BA1，CB1〉＝＝. 10→→|BA1||CB1|11(3)证明

依题意得C1(0,0,2)，M(，，2)，

22→A1B＝(－1,1，－2)，

11→C1M＝(，，0). 2211→→所以A1B·C1M＝－＋＋0＝0，

22→→所以A1B⊥C1M，即A1B⊥C1M.

[14分]

[9分]

1.在下列命题中：

①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；

②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；

③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；

④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc. 其中正确命题的个数是________. 答案

0 解析

a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空

间任意两向量a，b都共面，故②不正确；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0. 2.(2016·苏州模拟)已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝________. 答案

－9 解析

由题意知c＝xa＋yb，

即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，

2x－y＝7，∴x＋2y＝6，－3x＋3y＝λ，

解得λ＝－9. 3.(2017·南京检测)如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.→→→→若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则向量BM＝____________.(用a，b，c表示)

11答案

－a＋b＋c

22→→→→1→→解析

BM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB) 2111＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c. 2224.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是________.

答案

3－2 →→→→解析

∵BD＝BF＋FE＋ED，

→→→→→→→→→→∴|BD|2＝|BF|2＋|FE|2＋|ED|2＋2BF·FE＋2FE·ED＋2BF·ED

＝1＋1＋1－2＝3－2，

→故|BD|＝3－2. 5.(2016·徐州模拟)如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为→→→→→→OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，若OG＝xOA＋yOB＋zOC，则x，y，z

的值分别为______________.

111答案

，，

633→→→1→2→解析

∵OG＝OM＋MG＝OA＋MN

231→2→→1→2→2→＝OA＋(ON－OM)＝OA＋ON－OM

232331→21→→21→＝OA＋×(OB＋OC)－×OA

232321→1→1→＝OA＋OB＋OC，

633→→→→又OG＝xOA＋yOB＋zOC，

11∴x＝，y＝z＝. 63→1→→6.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM＝MC1，N为B1B的中点，则|MN2|＝________. 答案

21a

6解析

以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，则A(a，0,0)，C1(0，a，a)，N(a，aa，). 2

设M(x，y，z)，

→∵点M在AC1上且AM

1→＝MC1，

21∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，

22aa∴x＝a，y＝，z＝. 333

2aaa∴M(，，)，

333→∴|MN|＝

2aaa21a－a2＋a－2＋－2＝a. 33236→→→→→→7.A，B，C，D是空间不共面四点，且AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，则△BCD的形状是________三角形.(填锐角、直角、钝角中的一个) 答案

锐角

→→→→→→解析

因为BC·BD＝(AC－AB)·(AD－AB) →→→→→→→2＝AC·AD－AC·AB－AB·AD＋AB

→＝AB2>0，

所以∠CBD为锐角. 同理∠BCD，∠BDC均为锐角. 8.(2016·南京模拟)设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝→→→→3GG1，若OG＝xOA＋yOB＋zOC，则x，y，z的值分别为______________. 111答案

，，

444解析

如图所示，取BC的中点E，连结AE.

→3→3→→OG＝OG1＝(OA＋AG1) 443→1→＝OA＋AE

423→1→→＝OA＋(AB＋AC) 443→1→→→→＝OA＋(OB－OA＋OC－OA) 441→→→＝(OA＋OB＋OC)，

41∴x＝y＝z＝. 49.(2016·连云港模拟)已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，则c＝________. 答案

(3，－2,2)

x41解析

因为a∥b，所以＝＝，

－2y－1解得x＝2，y＝－4，

此时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)，

又因为b⊥c，所以b·c＝0，

即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2). 10.已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，

→—→—→—→①(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3A1B12；

→—→→②A1C·(A1B1－A1A)＝0；

→→③向量AD1与向量A1B的夹角是60°；

→→→④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|AB·AA1·AD|. 其中正确的序号是________. 答案

①②

→—→—→→—→—→—→—→→解析

①中，(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝A1A2＋A1D12＋A1B12＝3A1B12，故①正确；②中，A1B1－A1A→→＝AB1，因为AB1⊥A1C，故②正确；③中，两异面直线A1B与AD1所成的角为60°，但AD1与→→→→A1B的夹角为120°，故③不正确；④中，|AB·AA1·AD|＝0，故④也不正确. *11.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则

①A1M∥D1P；

②A1M∥B1Q；

③A1M∥平面DCC1D1；

④A1M∥平面D1PQB1. 以上正确说法的个数为________. 答案

3 →→→→1→→→→→1→解析

A1M＝A1A＋AM＝A1A＋AB，D1P＝D1D＋DP＝A1A＋AB，

22→→∴A1M∥D1P，∴A1M∥D1P，

由线面平行的判定定理可知，

A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1.

①③④正确. 12.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：

→→→→(1)EF·BA；(2)EF·DC；

(3)EG的长；

(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值. →→→解

(1)设AB＝a，AC＝b，AD＝c，

则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，

→1→11→→EF＝BD＝c－a，BA＝－a，DC＝b－c. 222→→11EF·BA＝2c－2a·(－a) 111＝a2－a·c＝. 224→→1(2)EF·DC＝(c－a)·(b－c) 211＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－. 2411→→→→1(3)EG＝EB＋BC＋CG＝a＋b－a＋c－b

222111＝－a＋b＋c，

22211111112→→|EG|2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则|EG|＝. 444222221→11→→→(4)AG＝b＋c，CE＝CA＋AE＝－b＋a，

222→→AG·CE2→→cos〈AG，CE〉＝＝－，

3→→|AG||CE|π0，，

由于异面直线所成角的范围是22所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为. 3*13.如图，在直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点.

(1)求证：CE⊥A′D；

(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值. →→→(1)证明

设CA＝a，CB＝b，CC′＝c，

根据题意得，|a|＝|b|＝|c|，

且a·b＝b·c＝c·a＝0，

111→→∴CE＝b＋c，A′D＝－c＋b－a. 22211→→∴CE·A′D＝－c2＋b2＝0. 22→→∴CE⊥A′D，即CE⊥A′D. 5→→→(2)解

∵AC′＝－a＋c，|AC′|＝2|a|，|CE|＝|a|. 2→→b＋1c＝1c2＝1|a|2，

AC′·CE＝(－a＋c)·22212|a|210→→∴cos〈AC′，CE〉＝＝. 52102·|a|2即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为10. 10→→→14.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝a，AB＝b，AD＝c，点M，N分别是A1D，B1D1的中点.

→(1)试用a，b，c表示MN；

(2)求证：MN∥平面ABB1A1. →→→(1)解

∵A1D＝AD－AA1＝c－a，

→1→1∴A1M＝A1D＝(c－a). 22

→1同理，A1N＝(b＋c)，

21→→→1∴MN＝A1N－A1M＝(b＋c)－(c－a) 22111＝(b＋a)＝a＋b. 222→→→(2)证明

∵AB1＝AA1＋AB＝a＋b，

→1→∴MN＝AB1，即MN∥AB1，

2∵AB1⊂平面ABB1A1，MN⊄平面ABB1A1，

∴MN∥平面ABB1A1.