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第一章

一、网络知识构建

常用逻辑用语

教学设计

二、课标导航

1．命题及其关系

(1)了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．

(2)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．

2．简单的逻辑联结词

了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．

3．全称量词与存在量词

(1)理解全称量词与存在量词的意义．

(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

三、典型问题举例

（1）命题及关系

原命题与它的逆命题、原命题与它的否命题之间的真假是不确定的，而原命题与它的逆否命题(它的逆命题与它的否命题)之间在真假上是始终保持一致的：同真同假．

一般来说，命题p⇒q的四种形式之间有如下关系：

(1)互为逆否的两个命题是等价的(同真同假)．

因此，证明原命题也可以改证它的逆否命题．

(2)互逆或互否的两个命题是不等价的．

例1.判断下列命题的真假．

(1)“若x∈A∪B，则x∈B”的逆命题与逆否命题．

(2)“若0

(3)a，b为非零向量，“如果a⊥b，则a·b＝0”的逆命题和否命题．

解析：

(1)“若x∈A∪B，则x∈B”是假命题，

故其逆否命题为假命题，

逆命题“若x∈B，则x∈A∪B”，为真命题．

(2)∵0

∴0≤|x－2|＜3. 原命题为真，故其逆否命题为真命题．

否命题：若x≤0或x≥5，则|x－2|≥3.否命题为假．

(3)原命题：a⊥b⇒a·b＝0，为真命题．

逆命题：a·b＝0⇒a⊥b，为真命题．

否命题：a，b不垂直⇒a·b≠0也为真命题

（2）充分条件和必要条件

有关充分条件和必要条件的判断是高中数学的一个重点，因此是高考的热点，与函数、不等式等重要知识的联系密切，是历年命题者考虑的重要题型．

1．判断充分条件和必要条件的方法有：

(1)定义法；(2)等价法；(3)集合的包含关系，要注意传递性的应用．

2．充分条件和必要条件的判定结果有四种，判定的方法也很多，针对各种具体情况，应采取不同的策略，灵活判断，要注意四个方面．

(1)要注意分清条件和结论，以免混淆充分性与必要性

从命题的角度判定条件的充要性，应先把题目写成命题的形式，并对条件和结论进行简化，然后按充分条件和必要条件的定义直接判定，由于充分条件和必要条件是相对的，因此在判定时一定要分清哪是条件？哪是结论？指明条件是结论的哪种条件？否则会混淆二者的关系，造成错误．

(2)明确充分、必要、充要条件不一定都是唯一的．

(3)要注意转换命题判定，培养思维的灵活性

由于原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真同假，因此，对于那些带有否定性的命题，可先转换为它的等价命题，再进行判定，这种正难则反的等价转化思想，应认真领会．

例2已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：

(1)s是q的什么条件？

(2)r是q的什么条件？

(3)p是q的什么条件？

解析：

p、q、r、s的关系如图所示，由图可知：

(1)因为q⇒s，s⇒r⇒q，

所以q⇔s，所以s是q的充要条件．

(2)因为r⇒q，q⇒s⇒r，

所以r⇔q，所以r是q的充要条件．

(3)因为q⇒s⇒r⇒p，

所以p是q的必要条件．

例3说出下列命题中，p是q的什么条件：

(1)p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x<2；

(2)p：－2

(3)p：x2－2x－8＝0，q：x＝－2或x＝4.

解析：

(1)令A＝{x|(x－1)(x＋2)≤0}＝{x|－2≤x≤1}，集合B＝{x|x<2}，显然AB，

所以p⇒q，但q⇒/ p，即p是q的充分不必要条件．

(2)令A＝{x|－2

∵BA，∴p⇒/ q，但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．

(3)令A＝{x|x2－2x－8＝0}＝{x|x＝－2或x＝4}＝{－2,4}，

B＝{x|x＝－2或x＝4}＝{－2,4}．

∵A＝B，∴p⇔q，即p是q的充要条件．

例4已知p：x2－8x－20＞0，q：x2－2x＋1－a2＞0，若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．

解析：

解不等式x2－8x－20＞0，

得p：A＝{x|x＞10或x＜－2}；

解不等式x2－2x＋1－a2＞0，

得q：B＝{x|x＞1＋a或x＜1－a，a＞0}．

a＞0a＞0于是有1＋a≤10或1＋a＜10，

1－a＞－21－a≥－2解得0＜a≤3，

所以正实数a的取值范围是0＜a≤3. （3）全称命题与特称命题

全称命题与特称命题真假的判定及含一个量词的命题的否定是高考的另一个重点，多以客观题为主．

全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明．要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．

特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可．否则，这一特称命题为假．

例5写出下列命题的否定，并判断其真假：

(1)p：末位数字为9的整数能被3整除；

(2)p：有的素数是偶数；

(3)p：至少有一个实数x，使x2＋1＝0；

(4)p：∀x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0. 解析：

(1)¬p：存在一个末位数字为9的整数不能被3整除．¬p为真命题．

(2)¬p：所有的素数都不是偶数．因为2是素数也是偶数，故¬p为假命题．

(3)¬p：对任意的实数x，都有x2＋1≠0.¬p为真命题．

(4)¬p：∃x0，y0∈R，x＋y＋2x0－4y0＋5≠0.¬p为真命题．

三、跟踪训练

1．命题p：x＝π是y＝|sin x|的图象的一条对称轴，q：2π是y＝|sin x|的最小正周期，下列命题：①p∨q；②p∧q；③綈p；④綈q. 其中真命题有：(

) A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

解析：

因为命题p是真命题，命题q是假命题，实际上y＝|sin x|的最小正周期是π；所以p∨q和綈q是真命题．

答案：

C

2．下列命题的否定是真命题的是(

) A．有理数是实数

B．末位是零的实数能被2整除

C．∃x0∈R,2x0＋3＝0

D．∀x∈R，x2－2x>0

解析：

命题是假命题时，其否定是真命题．

答案：

D 113．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜b或b＞a”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：

∵00，b>0时，aa. 111∴“0a”的充分条件，而取a＝－1，b＝1，显然有a

11故“0a”的充分而不必要条件．

答案：

A

4．给出下列四个命题：

①角α一定是直线y＝xtan α＋b的倾斜角；

②点(a，b)关于直线y＝1的对称点的坐标是(a,2－b)；

③与坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x＋y＝0；

④直线Ax＋By＝0与圆x2＋y2＋Ax＋By＝0相切．

其中是真命题的为(

) A．①②

B．③④

C．①③

D．②④

7π解析：

当α＝3时，α不是直线的倾斜角，故①错误；易求点(a，b)关于直线y＝1的对称点的坐标是(a,2－b)，故②真；与坐标轴距离相等的点的轨迹方程还可能是x－y＝0，所以③

错误，由公式d＝A·－A＋B·－B221A＋B22＝2A2＋B2＝r知④真．所以选D. 答案：

D

5．填空(充分、必要或充要)：

(1)“x＞1”是“x≥3”的________条件；

(2)“x(x2－1)(x＋5)＝0”是“x＝±1”的________条件；

(3)“a＝0”是“ab＝0”的________条件．

解析：

由图①，图②可知，(1)(2)是必要不充分条件．

由图③可知，(3)是充分不必要条件，

答案：

(1)必要

(2)必要

(3)充分

6．命题“若ab不为零，则a，b都不为零”的逆否命题是________．

解析：

将原命题的结论和条件的否定分别作为命题的条件和结论，即为其逆否命题．

答案：

若a，b至少有一个为零，则ab为零

2x－4x＋3＜0，27．已知p：2x－9x＋a＜0，q：2且¬p是¬q的充分条件，求实数a的取值x－6x＋8＜0，

范围．

2x－4x＋3＜0，1＜x＜3，解析：

由q：2解得

x－6x＋8＜0，2＜x＜4，

即2＜x＜3，∴q：2＜x＜3. 设A＝{x|2x2－9x＋a＜0}，B＝{x|2＜x＜3}．

8．写出下列命题的否定，并判断其真假：

(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；

(2)p：有些三角形的三条边相等；

(3)p：菱形的对角线互相垂直；

(4)p：存在一个实数x，使得3x<0. 解析：

(1)这一命题可表述为p：对任意的实数m，方程x2＋mx－1＝0必有实数根．其否定为綈p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，故綈p为假命题．

(2)綈p：所有三角形的三条边不全相等．

显然綈p为假命题．

(3)綈p：有的菱形对角线不垂直．

显然綈p为假命题．

(4)綈p：对于所有的实数x，都满足3x≥0. 显然綈p为真命题．