3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学设计(第二课时)

§7.1.1直线的倾斜角与斜率

荆门龙泉中学 吴金玉

一．教学目标：

知识目标：（1）了解直线方程的概念．

（2）正确理解直线倾斜角和斜率概念以及二者之间的关系。

（3）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。

能力目标：通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力。

情感目标：通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

二．重点、难点分析

（1）本节的重点是斜率的概念和斜率公式．直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用．因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键．

（2）本节的难点是对斜率概念的理解．学生对于用直线的倾斜角来刻画直线的方向并不难接受，但是，为什么要定义直线的斜率，为什么把斜率定义为倾斜角的正切两个问题却并不容易接受．

三．教材分析：

（1）本节课的教学任务有三大项：倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式．学生思维也对应三个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立．相应的教学过程也有三个阶段

①在教学中首先是创设问题情境，然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢，学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念． ②本节的难点是对斜率概念的理解．学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不这样．学生还会认为用弧度制表示倾斜角不是一样可以数量化吗．再有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解决这些问题，就要求教师帮助学生认识到在直线的方程中体现的不是直线的倾斜角，而是倾斜角的正切，即直线方程（一次函数y=kx+b的形式，下同）中x的系数恰好就是直线倾斜角的正切．

③在进行过两点的斜率公式推导的教学中要注意与前后知识的联系，课前要对平面向量，三角函数等有关内容作一定的复习准备．

（2）本节内容在教学中宜采用启发引导法和讨论法，设计为启发、引导、探究、评价的教学模式．学生在积极思维的基础上，进行充分的讨论、争辩、交流、和评价．倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式的建立，这三项教学任务都是在讨论、交流、评价中完成的．在此过程中学生的思维和能力得到充分的发展．教师的任务是创设问题情境，引发争论，组织交流，参与评价．

四．教学过程： 1．认识解析几何：在解析几何产生的过程中，法国数学家笛卡儿功不可没，他受天文和地理的经纬制度的启发，建立平面直角坐标系，将几何图形放在坐标系中，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。

2．直线方程的概念：以y=2x+1为例。

A(0,1) B(1,3) C(2,5) D(-1,-1) ……

直线l上的点

方程y=2x+1的解

x0x1



y1y3x2x1



y5y1

……

以该方程的解为坐标的点在直线l上

y=kx+b (kx-y+b=0) 直线l上所有点的坐标满足该方程

(代数方程) 直线l（几何图形）

点评：有了直线与方程的这种对应关系，给出一条直线，我们可以写出它的方程，反过来，给出一条直线的方程，我们可以画出它的图象。

探究1：在同一坐标系下画出下列三条直线并观察他们的异同。

3(3)

l:yx1 （1）y3x1 （2）yx1 33共同点：过同一个点（0，1） ；不同点：

方向不同。（倾斜程度不同）

启发：（1）如何确定（画出）一条直线？（两点确定一条直线。）

（2）如果只给出一点，要确定这条直线还应该增加什么条件？（直线的方向，或者说直线的倾斜程度。）

（3）如何刻画直线的方向？（由三角函数知识，表明一个方向可以有无穷多个角，这里只需要一个角，我们可以设想，这个角不仅可以解决我们的问题，还应该是简单的，自然的。）

（4）如何用旋转的观点描述这样一个角？（绕什么点，什么方向，转到什么地方为止）

3．倾斜角的定义：对于一条与x轴相交的直线，若把x轴绕交点逆时针方向旋转到与直线重合时所转过的最小正角叫做直线的倾斜角。

注1：当直线与x轴平行或重合时，直线的倾斜角为0。

注2：倾斜角的范围：0

点评：倾斜角从图象上刻画了直线的倾斜程度，但是，直线的倾斜角在直线的方程中是如何体现的呢？

探究2：图中三条直线方程有什么相同？图象呢？

(1)

yx1 (2) yx (3)

yx1 yx1

直线方程

y3x1

倾斜角

x的系数

3yx1

3yx1

3

4 -1 猜想：ykxb



ktan



33



4

433 1

点评：经过这样的分析我们发现：

直线方程（一次函数y=kx+b的形式）中x的系数恰好就是直线倾斜角的正切，这样的一个量k对于研究直线具有重要的作用，我们把它称为直线的斜率。

4．斜率的定义：900时，ktan；900时，斜率不存在。 事实上，我们可以通过正切函数的图象研究他们的关系，

y 当[0,2)时，k随的增大而增大且k>0；

o 2



x 当 k随的增大而增大且k<0。

,时，2

例1：设直线l的倾斜角为，斜率为k

01若60则k= ○3

；若k=-3则=1200

33则1200,1500

,32若30,60则k；若k3,○3300003若k1,1则的取值范围为0,451350,1800

○若60,150

则k的取值范围为,00333,

小结：刚才我们定义了从“形”的方面刻画直线相对于x轴的倾斜程度的量——倾斜角，现在，我们又定义了一个从“数”的角度刻画直线倾斜程度的量——斜率，而且他们之间的联系是：ktan。 5．直线过两点的斜率公式的推导：

如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义ktan求出直线的斜率，那么如果给出直线上两点的坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，我们又怎样求出直线的斜率呢？

问题：已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直线P1P2的斜率．

思路分析：首先由学生提出思路，教师启发、引导,运用正切定义，解决问题．

(1)正切函数定义是什么？（终边上任一点的纵坐标比横坐标．）

(2)角α是“标准位置”吗？（不是．）

(3)如何把角α放在“标准位置”？（平移向量P1P2使P1与原点重合，得到新向量OP）

(4)P的坐标是多少？（x2-x1，y2-y1）

(5)直线的斜率是多少?

(6)如果P1 和P2的顺序不同，结果还一样吗？（一样）．

评价：注意公式中x1≠x2，即直线P1 P2不垂直x轴．因此当直线P1P2不垂直x轴时，由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率，而不需要求出倾斜角．

6．例题分析：

例2：如图，直线l1的倾斜角130，直线l1l2，求l1、l2的斜率.

l2y

l1解：l1的斜率k1tan1tan303

31o

21

l2的倾斜角29030120，

x

l2的斜率k2tan120=tan603

例3：已知A（-3，4），B（5，2），过P(2,-1)的直线l与线段AB有交点（1）求直线l的倾斜角

的范围

（2）求直线l的斜率k的取值范围。

2(1)y 1，倾斜角1

解

（1）

直线PB的斜率k1524A(-3,4) 4(1)31，倾斜角2同理直线PA的斜率k2

324 B(5,2) 0 x P(2,-1) 故直线l的倾斜角的范围为3,

44（2）由正切函数的图象，k1,(,1]

7．巩固练习：（1）关于直线的倾斜角和斜率，其中说法是正确的有 C F A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；有斜率就一定有倾斜角。

B.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；

C.两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等

D.两直线的倾斜角相等，它们的斜率相等. E.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；

F.直线斜率的范围是(－∞，＋∞). （2）设直线l的斜率k(3,32)则倾斜角0,(,)

3368．课时小结：（1）三个概念：直线的方程，倾斜角，斜率。

（2）两个问题：已知倾斜角求斜率；已知斜率求倾斜角。 （3）一个关系：斜率和倾斜角。

9．作业布置：P37 2.3.4 10.教学后记：