习题2.3PPT及专用教学设计内容

第二章圆锥曲线与方程

《习题2.3第二学时求曲线的方程》教学设计

成都市第十二中学数学组简洪权

一、

教学分析设计

【教材分析】

1.

学科角度

平面解析几何是用代数方法研究几何问题的一门学科.坐标法是平面解析几何最基本的方法,它是利用“曲线的方程”和“方程的曲线”这两个重要概念,借助于平面坐标系(直角坐标系或极坐标系等),用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标所满足的方程表示曲线,通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.因此,平面解析几何要解决的一个主要问题就是“根据已知条件,求出表示平面曲线的方程”,即是求曲线方程的问题. 人教版《普通高中课程标准实验教科书•数学选修2-1(A版)》(以下简称《选修2-1》)通过“2.1.2求曲线方程”的例2、例3展示了根据“曲线的方程的定义”求曲线方程的一般步骤(以下称这一方法为“定义法”),然后通过推导椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及“2.2.1椭圆及其标准方程”的例2和例3、“2.2.2椭圆的简单几何性质”的例6、“2.3.2双曲线的简单几何性质”的例5再次展现了“定义法”求曲线方程的过程.《选修2-1》在研究了椭圆、双曲线、抛物线的标准方程,明确了椭圆、双曲线、抛物线标准方程的特征后,通过“2.2.1椭圆及其标准方程”的例1、“2.2.2椭圆的简单几何性质”的例5、“2.3.1双曲线及其标准方程”的例1和例2、“2.3.2双曲线的简单几何性质”的例4、“2.4.1抛物线及其

方程”的例1和例2、“2.4.2抛物线的简单几何性质”的例3展示了求曲线方程的另一种方法,这一方法是在已知曲线方程的形式特征的基础上先设出曲线的方程,所设曲线的方程中含有需根据已知条件确定的常数,称为“待定系数”,再根据已知条件建立关于“待定系数”的方程或方程组,然后解方程或方程组求出“待定系数”的值,从而达到求出曲线方程的目的,通常把这一方法叫做“待定系数法”. 因此,可以把求曲线方程的方法分为两类：一类是定义法,即是曲线方程的定义所蕴含的方法；一类是待定系数法,即是基本的曲线方程所蕴含的方法.

2.

教育角度

建立曲线的方程是解析几何的主要内容之一. 用定义法求曲线的方程,一方面要建立适当的坐标系,了解曲线上的点所满足的几何条件,写出这条曲线上的点的集合,然后把动点坐标代人,化简后得到方程,体现了数形结合的重要数学思想,是培养学生抽象概括能力的有效途径；另一方面,还要注意检查以这个方程的解为坐标的点是否在曲线上,即是否满足这个几何条件,体现了等价转化的数学思想,是提升学生思维能力、养成逻辑严谨的思维品质的重要途径.用待定系数法求曲线方程,需要建立曲线与其方程之间的关联,明确曲线方程中待定系数的几何意义,再用待定系数表示题设条件建立关于待定系数的方程(组),通过解方程组求出待定系数的值,得到所求曲线的方程,体现了等价转化及方程的数学思想,是提升学生抽象概括、运算求解素养的重要素材.学生在解决一个求曲线方程的问题时,需要对题设条件进行认真分析,才能选择恰当的方法(定义法或待定系数法)来解决问题,是提高学生分析问题和解决问题能力的重要途径. 【学生分析】

通过对《普通高中课程标准试验教科书

数学(必修2)》第三章直线与方程、第四章圆与方程、《普通高中课程标准试验教科书

数学(选修2-1)》第二章圆锥曲线与方程及《普通高中课程标准试验教科书

数学(选修4-4)极坐标与参数方程》的学习,学生对“曲线方程的概念”已有所感知,初步掌握了求曲线方程的方法.但经过高一和高二的新课学习及高三第一轮复习后,学生在成都市高三一诊数学考试及最近的作业中反映出学生仍未构建良好的认知结构,特别是对定义法中需要通过引进参数来建立曲线上任意一点的横坐标x和纵坐标y之间的关系式的这种较为繁杂的求曲线方程问题,学生常感无从下手,不能选择恰当的参数、找到简捷的运算途径.

1

【目标分析】

结果性目标：能根据题设条件画出曲线,能准确地把曲线的几何特征转化为曲线的方程,初步感受形与数的对立与统一,建立形与数的关联体验能. 体验性目标:

能积极参与到求曲线方程的活动中,能选择恰当的方法解答习题体会等价转化思想；在探究曲线方程的过程中,能自主探索、交流合作,可以部分地表达探究过程中的思路,感受成功的喜悦,提高学习兴趣,增强合作意识. 【重难点分析】

重点：根据已知曲线的特征,选择恰当的方法求出曲线的方程

难点：对选择恰当参数,建立曲线的方程

【核心问题分析】

核心问题：解答下列习题,总结求曲线方程的方法

x2y21上,过M作x轴的垂线,1.

[17国二20(1)]设O为坐标原点,动点M在椭圆C:2垂足为N,点P满足NP2NM.求点P的轨迹方程.(人教A版数学选修2-1P412.2.1椭圆及其标准方程例2改编) 2.

[16国三20（2）]已知抛物线C:y2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.(人教A版数学选修2-1P702.4.2抛物线的简单几何性质例5改编)

“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”是高中数学新课程的基本理念之一.学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习,还应提倡自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等数学学习方式.数学探究学习活动,为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造了有利条件,可以激发学生的数学学习兴趣,养成独立思考、积极探索的习惯,让学生体验数学发现和创造的历程,发展他们的创新意识. 本节课是学生学习了《普通高中课程标准试验教科书

数学(必修2)》、《普通高中课程标准试验教科书

数学(选修2-1)》,《普通高中课程标准试验教科书

数学(选修4-4)极坐标与参数方程》,经历了高三第一轮复习后的高三第二轮专题复习课,学生能解决简单的求曲线方程的问题.本设计要求学生先解答两个求曲线方程的习题,习题1是2017年全国二卷第20题的第(1)小题,是由人教A版数学选修2-1P412.2.1椭圆及其标准方程例2改编而成,题设条件没有告知所求曲线方程的类型,也不能根据题设条件确定所求曲线方程的类型,只能选择选择定义法,找曲线上任意一点P的横坐标x和纵坐标y之间的关系式时,可以运用直译法也可运用参数法；习题2是2016全国三卷第20题的第（2）小题,其出题背景是人教A版数学选修2-1P702.4.2抛物线的简单几何性质例5,题设条件没有告知所求曲线方程的类型,也不能根据题设条件确定所求曲线方程的类型,只能选择选择定义法,找曲线上任意一点M的横坐标x和纵坐标y之间的关系式时,可以运用直译法也可运用参数法.让学生在主动参与、积极探索习题的求解过程中感受求曲线方程的方法.同时,通过反思总结,让学生构建良好的认知结构,认识两类方法的共性(等价转化),领会其实质(数形统一). 本堂课力求实现学生“自主性学习、探究性学习、合作性学习、体验学习”的综合性学习方式.强调每个学生都要以良好的心态发掘自己的潜在智能,努力联系自身的生活、学习经验,大胆尝试、勤于动手,学会通过“做中学”,通过亲历事实索取反思体悟获得真正属于自己的知识.强调在与同学、与老师、与社会人的交往沟通、合作探究、团结拼搏中,进行资源共享,交流分享,学会用合力提升自己,用合力促进共同发展.强调在自主互动中学会寻找事物整合点进行综合思维,在综合学习活动中实现个性智能建构.

2

2

【技术分析】

教学媒体

黑板

平板电脑

几何画板

二、

教学实施设计

【教学环节】

教学教师活动

环节

解答下列习提出提出问题：问题

题,总结求曲线方程的方法

(3') 引导学生借助曲线的特征探究曲线的方程

巡视、引导、收集学生解决具体问题的方法和探索的结果

问题解决(22') 引导学生展示自己的思路

引导学生评价各种方法的正误

用几何画板演示曲线,检验学生所提出的各种方法的正误

功能

板书教学流程、重要要点以及用于学生演板

展示教学环节,展示动画、图片,让学生感受更加直观

动态演示,体验“轨迹形成过程”

学生活动

明确本节课的学习任务

设计意图

用核心问题调动学生的积极性

初步体验数形结合、等价转化的数学思想

1.体验数形结合思想

2.正视探究过程中遇到的困惑

1.表述探究过程及思路

2.让生学会合作交流、资源共享

反思探究过程,体验曲线的特征与曲线的方程的关联

初步感受求曲线方程的定义法、待定系数法及定义法中的参数法

生活动1：学生积极主动投入到探究曲线的方程活动

生活动2：小组合作探究具体问题解决方案

生活动3：黑板上展示探究思路及结果

生活动4：三人为一个小组讨论分析各种方法的正误并分析原因,请一名同学说出本组的讨论结果

生活动5：观看演示曲线的变化过程,并体会、领悟求曲线方程的方法

归纳提升(7') 方法提升

1.小组合作讨论、交流解决深度体验求曲线方程的定核心问题的方法

义法、待定系数法及定义2.说出探究曲线方程的思路

法中的参数法

结合探究过程,总结其中所蕴含的思想方法

独立完成课堂反馈习题(见附录) 说出解决问题的方法

体验研究过程与方法,上升到数学本源思想

思想提升

反馈运用(8')

巡视、辅导

引导、评价

完善思维,提升巩固

3

【评价预设】

1.

大多数学生能借助参数动点M的坐标(x0,y0),通过消去2x02y01,x0x,y2y0中的x0,y0找到习题1所求曲线上任意点P的横坐标x2和纵坐标y之间的关系式；

2.

只有少数学生能熟练运用题设条件NP2NM,或借助图形条件直接用P的坐标x2y),根据点M在椭圆C:y21上,找到习题1所求曲(x,y)表示点M的坐标(x,22线上任意点P的横坐标x和纵坐标y之间的关系式；

3.

多数学生能根据△PQF的面积是△ABF的面积的两倍确定点D的坐标(1,0)；

24.

少数学生能根据kABkDM或类垂径定理即kDMkOM,找到问题2所求曲线x2x1上任意点M的横坐标x和纵坐标y之间的关系式；

5.

部分学生能借助直线AB的斜率或其倒数和中点坐标公式,找到中问题2所求曲线上任意点M的横坐标x、纵坐标y与直线AB的斜率的关系式yk(x1),y1,然后消k去k,得到所求曲线的方程. 6.

多数学生能说出解答习题所用的方法及其操作步骤,少数学生能说出各种方法使用的条件,形成解决求曲线方程问题的策略,体会其中蕴含的数学思想方法.

【板书设计】

专题二

解析几何

第1讲

求曲线方程

三．反思提升

主板书：

(一)方法总结：

一．核心问题：解答下列习题,总结求曲线方程的方法

1.定义法

1.

[17国二20(1)]设O为坐标原点,动点M在椭圆(1)直译法

(2)参数法

x22C:y1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点2.待定系数法

2(二).思想提升：

P满足NP2NM.求点P的轨迹方程.(人教A版1.等价转化思想

数学选修2-1P412.2.1椭圆及其标准方程例2改编) 2.数形结合思想

22.

[16国三20（2）]已知抛物线C:y2x的焦点为F,3.方程思想

四．反馈运用

平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交

C的准线于P,Q两点.若△PQF的面积是△ABF的面

（根据学生的思路及分析板出）

积的两倍,求AB中点的轨迹方程.(人教A版数学选修副板书：1．………

2-1P702.4.2抛物线的简单几何性质例5改编) 2．………

二．解决问题

4

【教学流程】

开始

创设情景、提出核心问题

学生活动：解决核心问题

巡视,引导

实物投影

作出恰当点评

全班交流展示探究结果

归纳提升

知识归纳

思想提升

反馈运用

巡视、引导、评价

点拨,小结

作业布置

结束

三、

教后评价反馈

【信息搜集】

课后搜集了全班学生的运用反馈练习44份.对搜集到的4份学生运用反馈练习基于关联体验目标达成情况评判标准进行了批阅和分类,并按照等级标准标注了等级；在此基础上完成了《四川大学附属中学体验性目标达成点检测表》（请见附于教学设计之后）.

【自我评价】

基于本节课的核心问题设置较为恰当,体验到了恰当设置核心问题的重要性和必要性.因此较好地达成了教学目标,整节课的完成是比较成功的. (1)学生活动充分,体验层层深入.作为一节高三专题复习课,更关注学生的“练”和“反思”.放手把时间交还给学生,学生先后经历了独立探究、小组合作、全班展示交流三个活动环节.由于学生活动充分所以在全班展示环节,学生的展示有内容,有层次,有高潮. (2)教师的评价实施较好和学生感受意义关联较好. 根据《核心问题教学评价表》,按照核心问题教学形态评价和实质评价的一级、二级、三级指标,结合结果性目标,体验性目标尤其关联体验目标,根据学生课堂中的具体表现和收集整理的资料,反思判断自己的教学,对核心问题教学文化的自评情况如下表：

5

核心问题教学评价表

评价者信息

姓名：简洪权

学科：数学

学校：成都市第十二中学

公开课信息

教师：简洪权

学科：数学

时间：2018.5.7

班级及其特征：高三(十)外地生

课题名称：专题二

第1讲 求曲线方程

核心问题：解答下列习题,总结求曲线方程的方法

评价指标

评价目标

一级指标

二级指标

三级指标

评价结果

内含学科问题和学生活动方式

8 核心问题

问题情景与真实生活密切相关

7 每项指标最利于活动体验

高评8分

能引发新知识、新方法的生成

7 具

有7 两类目标正确全面

教学目标

核8 关联体验目标恰当

心价值引导恰当

7 目标价值引导显现

问题

8 教学环节清晰完整

教学环节

教

8 环节内容合理充实

学完整合理落实

8 学生活动时间充分

形

态8 问题目标环节两两匹配

教学要素

7 技术促进活动形式内容

实合计

90 分

相互匹配促进

现7 学科特点突出氛围浓郁

活

课堂与现实世界有恰当关联

动

拓展学习视野

有基于缄默知识的问题解决

体

验有缄默知识运用的追踪剖析

中选择一个表现突有真实而且完整的实践活动

的出的二级指标,在学投入实践活动

能够全身心地浸渍于活动中

相应三级指标引习活动的内容结果均丰富深入

具与导下,以现场学生有有核心问题的深层意义感受

发表现为依据,于本核展感受意义关联

有以知识为中心的关联感受

表的第二页写出心有以个人为中心的关联感受

问150字以上的简要题有实质性反思活动的开展

评价. 教自觉反思体验

有课堂新因素的追踪利用

学有体验的交流与改善重构

实质乐于自我的表达与认真的倾听

乐于对话分享

乐于合作中成果与思路的分享

有宽容的对话氛围和多向交流

认可体验评价

认同体验评价

参与体验评价

利用体验评价

核心问题教学实质的简要评价（包括发展性建议）：

本节课是学生学习了《普通高中课程标准试验教科书

数学(必修2)》、《普通高中课程标准试验教科书

数学(选修2-1)》,《普通高中课程标准试验教科书

数学(选修4-4)极坐标与参数方程》,经历了高三第一轮复习后的高三第二轮专题复习课,学生能解决简单的求曲线方程的问题.本设计要求学生先解答两个求曲线方程的习题,习题1的题设条件没有告知所求曲线方程的类型,也不能根据题设条件确定所求曲线方程的类型,只能选择选择定义法,找曲线上任意一点P的横坐标x和纵坐标y之间的关系式时,可以运用直译法也可运用参数法；习题2的题设条件也未告知所求曲线方程的类型,也不能根据题设条件确定所求曲线方程的类型,只能选择选择定义法,找曲线上任意一点M的横坐标x和纵坐标y之间的关系式时,可以运用直译法也可运用参数法.在教学实施过程中发现,多数学生能选择恰当的方法解答相应的习题,但由于对平面几何知识、圆锥曲线的几何性质理解不深刻、记忆不牢固,不能建立题设条件与相关数

6

学结论之间的关联,没能合理运用这些数学结论,致使运算过程繁杂,不能求出正确的结果. 学生在运用待定系数法解答课堂习题2及反馈习题3时,对方程的思想意识不到位,运算能力明显不足,在以后教学中应注重训练和提高学生的运算能力.

【反馈调整】

体验性目标点检测表

执教教师

简洪权

学

科

数学

基本

班

级

高三、十班

上课时间

2018年

5月

7日第

5节

信息

课题名称

专题二

第1讲

求曲线方程

解答下列习题,总结求曲线方程的方法

核心

问题

x2y21上,过M作x轴1.

[17国二20(1)]设O为坐标原点,动点M在椭圆C:2的垂线,垂足为N,点P满足NP2NM.求点P的轨迹方程.(人教A版数学选修2-1P412.2.1椭圆及其标准方程例2改编) 2.

[16国三20（2）]已知抛物线C:y22x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.(人教A版数学选修2-1P702.4.2抛物线的简单几何性质例5改编) 结果性

目标

能根据题设条件画出曲线,能准确地把曲线的几何特征转化为曲线的方程,初步感受形与数的对立与统一,建立形与数的关联体验

能积极参与到求曲线方程的活动中,能选择恰当的方法解答习题体会等价转化思想；在探究曲线方程的过程中,能自主探索、交流合作,可以部分地表达探究过程中的思路,感受成功的喜悦,提高学习兴趣,增强合作意识. 求曲线方程的方法

教学

目标

体验性

目标

检测点

x2y21相交于不同的两点A,B,求1.

已知过点P(4,0)的动直线l与椭圆C:4线段AB的中点M的轨迹方程.

2.

已知直线l与抛物线C:y24x相交于不同的两点A,B,O为坐标原点,若检测工具（题）

OAOB,求点O在直线l上射影H的轨迹方程. 3223.

已知直线l与圆O:xy相切,且与椭圆4x2C:y21相交于不同的两点A,B,求OAB3面积取得最大值时直线l的方程. 分类标准

能深度体验求曲线方程的定义法和待定系数法,能根据椭圆和抛物线的相关性质,运用定义法简捷求出第1题和第2题的轨迹方程；能运用待定系数法准确求出第3题中直线的方程. 学生人数

所占百分比

检测

分类等级

统计

（学生A 总人数：

45人）

19 43.2% 7

B 能体验求曲线方程的定义法和待定系数法,能选择定义法求第1题和第2题的轨迹方程,选择待定系数法求第3题的直线方程,但没能求出正确结果. 21 47.7% 检测

分析

能体验求曲线方程的待定系数法,不能选择定义法求第1题和第2题的轨迹方C 3 6.8% 程,能选择待定系数法求第3题的直线方程,但没能求出正确结果. 没能体验求曲线方程的方法,对第1、D 1 2.3% 2、3题无从入手. 在核心问题的引导下,学生经过解决问题、反思提升等教学环节的探究,经历真实的实践体验之后,对求曲线方程的方法已经用了较为深刻的认识.能比较准确的运用本节课的方法解决求曲线方程问题. 在运用反馈环节,有97.7%的同学能选择恰当的方法解答第1、2、3题,定义法和待定系数法的步骤表述清楚,因此,多数同学的体验是真实深入的,能准确理解求曲线方程的定义法和待定系数法. 其中有19人能求第1题和第2题中的轨迹方程,对椭圆和抛物线的几何性质有比较深刻地理解、掌握；有29人能在第1题中写出椭圆的类垂径定理,但没有把直线AB的斜率等同于直线OM的斜率,找到线段AB中点M的轨迹方程；有6人能把直线AB的斜率等同于直线OM的斜率,x,y的关系,但化简出错. 总体来讲,同学们的实践活动充分、深度体验深入,对求曲线方程的定义法和待定系数法的理解是比较深刻的,较好的实现了教学目标. 8

体验

典型

实例

该同学应用椭圆的参数方程设出A(3cos,sin),B(3cos,sin),由此表示出OAB的面积,根据OAB的面积取最大值时确定根据直线AB与圆xy22k,kZ；再23k,kZ,从而,求出点A,B的坐标；相切确定42检测

反馈

最后写出直线AB(l)的方程.其实质是待定系数法的过程,体现了该同学较强的分析问题和解决问题的能力,对求曲线方程的方法深刻地理解、灵活地运用.

针对基于信息收集的检测分析,第二天,我将以正确率及关联体验目标达成分类两种不同标准批改后的学生运用反馈练习发给学生,并于课堂上主要基于后一标准的情况,作了全班讲评,尤其对检测后对C档的3位学生和D档的1位同学进行了重点反馈,对于归为D类的1位同学进行了个别交流,让他们深刻体验到了“是否已知(或能否根据已知条件确定)曲线方程的形式特征,是选择定义法或待定系数法求曲线方程的首要条件；合理选用数学知识把题设条件表示成曲线上点的坐标或待定系数的关系式,是解决问题的关键”,而设曲线上点的坐标或含待定系数的曲线方程,明确形与数之间的内在联系,是建立“曲线”与“方程”关联的基础.

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