1.2.1 充分条件与必要条件课件配套优秀教案案例

1.2.1充要条件

知识点梳理

1、充分条件、必要条件、充要条件的概念

(1)若p⇒q，则p是q的充分条件；

(2)若q⇒p，则p是q的必要条件；

(3)若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；

2．集合与充要条件的关系

记法

关系

A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}

A＝B

图示

结论

p是q的充分不必要条件

p是q的必要不充分条件

p是q的充要条件

p是q的既不充分也不必要条件

注：这里的集合A、B分别是使命题p和q为

真命题的对象所组成的集合．

题型一

充分条件与必要条件的判定

例1 下列各题中，p是q的什么条件？

(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sinA＝sinB；

(2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；

(3)p：－＝1，q：y＝f(x)是偶函数；

(4)p：A∩B＝A，q：∁UB＝∁UA. 解析：(1)若∠A＝∠B，则sinA＝sinB，即p⇒q. 又若sinA＝sinB，则2RsinA＝2RsinB，即a＝b. ∴∠A＝∠B，即q⇒p. 所以p是q的充要条件．

(2)其逆否命题为：

对于实数x，y，若x＝2，且y＝6，则x＋y＝8，

显然当x＝2，y＝6时，x＋y＝8成立；

但当x＋y＝8时，x＝2，且y＝6不一定成立，

(3)∵－＝1，∴f(－x)＝f(x)，

∴y＝f(x)是偶函数．∴p⇒q. 取f(x)＝x2为R上的偶函数，

但－在x＝0时没有意义，∴q/⇒p. ∴p是q的充分不必要条件．

(4)∵A∩B＝A，∴A⊆B.∴∁UB⊆∁UA，∴p⇒q，

又由∁UB⊆∁UA得A⊆B. ∴A∩B＝A，∴q⇒p，∴p是q的充要条件．

解后反思：判断p是q的什么条件，需要从两个方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形

象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．

变式：（1）

设命题p：|4x－3|≤1；

命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.

若綈p是綈q的必要不充分条件，

求实数a的取值范围．

1解析：由|4x－3|≤1，得－1≤4x－3≤1，故2≤x≤1.

由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0⇔(x－a)(x－a－1)≤0⇔a≤x≤a＋1. ∵綈p是綈q的必要不充分条件，

1∴p是q的充分而不必要条件，即2，1，a＋1]．

a≤1，∴2a＋1≥1.

变式（2）已知p是q的充分条件，

q 是r的必要条件，

也是s的充分条件，

r是s的必要条件，则p 是r的

（

）条件，

s 是q的（

）条件。

题型二

充要条件的证明

例2.求证关于x的方程ax2＋2x＋1＝0 至少有一个负根的充要条件是a≤1

1证明：(1)充分性：当a＝0时，方程为2x＋1＝0，其根为x＝－2，方程有一个负根，符合题意．

当a＜0时，Δ＝4－4a＞0，方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实根，1且a＜0，方程有一正一负根，符合题意．

当0＜a≤1时，Δ＝4－4a≥0，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，且1a＞0，2－a＜0，

故方程有两个负根，符合题意．

(2)必要性：

若方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根．

当a＝0时，方程为2x＋1＝0符合题意．

当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0应有一正一负根或两个负根．

2－＜0，1则a＜0，或a1a＞0.Δ＝4－4a≥0，

解得a＜0，或0＜a≤1.

综上知：若方程ax2＋2x＋1＝0至少有一负根，则a≤1.

故关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1.

a≤1. 解后反思：①证明充要性首先要分清谁是条件，谁是结论．在这里要注意两种说法：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”；前者p是条件，后者q是条件．②证明分为两个环节：一是充分性，即由条件推结论；二是必要性，即由结论推条件．证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明．