1.2.1 充要条件PPT及课堂实录内容

1.2.2充要条件

第一章

常用逻辑用语

河北省新乐市第一中学

刘建新

(一)教学目标

1.知识与技能目标：

（1）正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．

（2）正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件. （3）通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．

2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．

3. 情感、态度与价值观：

激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．

（二）教学重点与难点

重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题

难点：正确区分充要条件．

教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．

（三）教学过程

学生探究过程：

1.思考、分析

已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数. 请判断：p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？

2.类比归纳

一般地,如果既有pq，又有qp就记作pq. 此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果pq,那么p与q互为充要条件. 课题引入： P：整数a是6的倍数 q：整数a是2和3的倍数p是q的什么条件？q又是p的什么条件？

探究(一)：充要条件的含义

一般地如果既有pq，又有qp，就记作pq。此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件。

显然，如果pq，那么p与q互为充要条件。

3.例题分析

例1：下列各题中，哪些p是q的充要条件？

（1）p：a＞0，b＞0，q：a＋b＞0； 充分

（2）p：四边形的四条边相等， 必要

q：四边形是正方形；

（3）p：|x|＜1，q：－1＜x＜1； 充要

（4）p：a＞b，q：a＞b. 既不充分也不必要

探究(二)：充分必要条件的分类

⑴若pq，且q≠>p，则p是q的充分不必要条件

⑵若pq，且p≠>q，则p是q的必要不充分条件

⑶若pq，且pq，则p是q的充要条件

⑷若p≠>p，且q≠>p，则p是q的既不充分也不必要条件

例2：

下列各题中，那些p是q的充要条件．

（1）p：b＝0，

q：f(x)＝ax＋bx＋c是偶函数； 充要条件

（2）p：x＞0, y＞0，q：xy＞0； 充分非必要条件

（3）p：a＞b，q：a＋c＞b＋c；

充要条件

（4）p：两直线平行；

q：两直线的斜率相等.

既不充分也不必要条件

探究（三）：判断充分条件、必要条件的方法 (如何从原命题和逆命题的真假性理解上述四种关系？) 1、直接用定义判断

⑴若pq，且q≠>p，则p是q的充分不必要条件 原命题为真逆命题为假； ⑵若pq，且p≠>q，则p是q的必要不充分条件

原命题为假逆命题为真；

⑶若pq，且pq，则p是q的充要条件 原命题、逆命题都为真；

⑷若p≠>p，且q≠>p，则p是q的既不充分也不必要条件 原命题、逆命题都为假.

2、利用命题的四种形式进行判定

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p是q的充分不必要条件，

p是q的必要不充分条件

p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件

例3:给出下列四个结论

①若a,bR,则“a2b20”是“a,b全不为0”的充要条件；②若a,bR,则“a2b20”是“a,b不全为0”的充要条件；③x2y2是xy或xy的充要条件；

是tantan的充分不必要条件。其中正确的序号是②3、利用集合的关系判定

设：A{x|x满足条件p}B{x|x满足条件q}1）若AB且BA，则称p是q的充分不必要条件2）若AB且BA，则称p是q的必要不充分条件

3）若A⊊B且B⊊A，则称p是q的既不充分也不必要条件

4）若AB且BA，既A=B，则称p是q的充要条件

针对练习

1、已知p：|x+1|＞2，q：x＜5x－6,则p是q的（

B

）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

2、设集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的 ( B ) A.充要条件 B .必要不充分条件 C .充分不必要 D .不充分不必要

3、a∈R,|a|<3成立的一个必要不充分条件是( A ) 2

A.a<3 B.|a|<2 C.a2<9 D.0

由于逻辑联结符号“”、“”、“”具有传递性，因此可根据几个条件之间的关系，经过若干次的传递

判断所要判断的两个条件之间的依存关系。4、已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的（

A

）

Ａ.充分非必要条件

Ｂ.必要非充分条件Ｃ.充要条件 Ｄ.既非充分又非必要条件 例4：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．

【解析】设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（pq）和必要性（qp）即可．

证明：如图所示. （1）充分性（pq）：

作OP⊥l于点P则OP=d，若d=r，则点P在⊙O上，

在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ. 在Rt△OPQ中，OQ>OP=r. 所以，除点P外直线l上的点都在⊙O的外部，

即直线l与⊙O仅有一个公共点P.所以直线l与⊙O相切. （2）必要性（qp）: 若直线l 与⊙O相切，不妨设切点P，则OP ⊥l. 因此，d = OP = r .

变式4

圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．

解析：当 x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2有一个公共点时，有|2|k2＋1＝1，解得k＝±3.结合图形可知，圆与直线没有公共点的充要条件是

－3＜k＜3. 答案：－3＜k＜3 设计意图：解决此类一般是从结论出发找出结论成立的必要条件，再证明在这个条件下结

论成立．证明过程中要能够运用命题所涉及到的相关知识和方法．

课堂小结

1.p是q的充分条件包括两种可能，即p是q的充分不必要条件或p是q的充要条件；同样，p是q的必要条件也包括两种可能，即p是q的必要不充分条件或p是q的充要条件.

2.关于充要条件命题的证明，一般分充分性和必要性两个方面进行，其中由条件推出结论就是充分性，由结论推出条件就是必要性. 3.充要条件是一种等价关系，许多数学问题的求解，就是求结论成立的充要条件. 在判断p是q的什么条件时，要“正逆互推，注意特例”. 作业布置

习题1.2A组练习第4题，B组练习第2题.