复习参考题优秀教学设计

§8.4

直线、平面平行的判定与性质

面面平行的判定与性质

图形

条件

结论

重点、难点

判定

定义

定理

性质

a⊂β，b⊂β，

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b

α∩β＝∅

a∩b＝P，a∥α，b∥α

α∥β，a⊂β

α∥β

α∥β

a∥b a∥α

1．证明线面平行常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平行．

2．在判定和证明直线与平面的位置关系时，切不可丢弃定义．

1．

已知不重合的直线a，b和平面α，

①若a∥α，b⊂α，则a∥b；

②若a∥α，b∥α，则a∥b；

③若a∥b，b⊂α，则a∥α；

④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α. 上面命题中正确的是________(填序号)．

答案

④

2．

已知α、β是不同的两个平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β，则p是q的____________条件．

答案

必要不充分

3．

已知平面α∥平面β，直线a⊂α，有下列命题：

①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直．

其中真命题的序号是________．

1

答案

②

题型一

直线与平面平行的判定与性质

例1

正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE. 思维启迪：证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的判定定理，也可利用面面平行的性质．

证明

如图所示．

作PM∥AB交BE于M，

作QN∥AB交BC于N，

连接MN. ∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE＝BD. 又AP＝DQ，∴PE＝QB，

又PM∥AB∥QN，∴＝＝∴＝，

∴PM綊QN，即四边形PMNQ为平行四边形，

∴PQ∥MN. 又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，

∴PQ∥平面BCE.

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝2，PA＝1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．求证：BE∥平面PDF. 证明

略

题型二

平面与平面平行的判定与性质

例2

如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，

PMPEQBQN＝，

ABAEBDDCPMQNABDCA1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面；

(2)平面EFA1∥平面BCHG. 思维启迪：要证四点共面，只需证GH∥BC；要证面面平行，可证一个

平面内的两条相交直线和另一个平面平行．

证明

(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.

2

又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，

∴B，C，H，G四点共面．

(2)∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC，

∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，

∴EF∥平面BCHG. ∵A1G綊EB，

∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG. ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG. 探究提高

证明面面平行的方法：

(1)面面平行的定义；

(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；

(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；

(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；

(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．

方法与技巧

1．

平行问题的转化关系

2．

直线与平面平行的主要判定方法

(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质．

3．

平面与平面平行的主要判定方法

(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β. 失误与防范

1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．

2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．

3．解题中注意符号语言的规范应用．

3

一、选择题(每小题5分，共20分) 1．

若直线m⊂平面α，则条件甲：“直线l∥α”是条件乙：“l∥m”的

(

) A．充分不必要条件 C．充要条件

答案

D 2．

已知直线a，b，c及平面α，β，下列条件中，能使a∥b成立的是

A．a∥α，b⊂α

C．a∥c，b∥c 答案

C 二、填空题(每小题5分，共15分) 1．

过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．

答案

6 2. 如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下

底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，

3过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________. 答案

22a

3

B．a∥α，b∥α

(

)

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

D．a∥α，α∩β＝b

a三、解答题(共22分) 1． (10分)如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，

M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面，交平面BDM 于GH. 求证：PA∥GH. 证明

如图，连接AC交BD于点O，连接MO，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是AC的中点，又M是PC的中点，

∴AP∥OM. 则有PA∥平面BMD. ∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，

∴PA∥GH.

4

2. (12分)如图，已知平行四边形ABCD中，BC＝6，正方形ADEF所在

平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点．

(1)求证：GH∥平面CDE；

(2)若CD＝2，DB＝42，求四棱锥F—ABCD的体积．

(1)证明

方法一

∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC. 又EF＝AD＝BC，∴四边形EFBC是平行四边形，

∴H为FC的中点．

又∵G是FD的中点，∴HG∥CD. ∵HG⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，

∴GH∥平面CDE. 方法二

连接EA，∵ADEF是正方形，∴G是AE的中点．

∴在△EAB中，GH∥AB. 又∵AB∥CD，∴GH∥CD. ∵HG⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，

∴GH∥平面CDE. (2)解

∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，

且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD. ∵AD＝BC＝6，∴FA＝AD＝6. 又∵CD＝2，DB＝42，CD2＋DB2＝BC2，∴BD⊥CD. ∵S▱ABCD＝CD·BD＝82，

∴V11F—ABCD＝3S▱ABCD·FA＝3×82×6＝162.

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