3.1.3 空间向量的数量积运算教学设计

《3.1.3空间向量的数量积运算》教学设计

甘南县第一中学 高宗刚

教学目标：

知识与技能目标：

知识：1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题. 技能：将立体几何问题转化为向量的计算问题

过程与方法目标：

1.培养类比等探索性思维，提高学生的创新能力. 2.培养学生把空间立体几何问题转化为向量的计算问题的思想. 情感与态度目标：

1. 获得成功的体验,激发学生学习数学的热情； 2. 学习向量在空间立体几何中的应用, 感受到数学的无穷魅力. 教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用. 教学难点：将立体几何问题转化为向量的计算问题. 教辅工具：多媒体课件

教学程序设计：

教学环节及时间分配

教

师

活

动

（教学内容的呈现及教学方法）

回顾平面向量数量积的相关内容，如平面向量夹角及平面向量数学

生

活

动

（学习活动的设计）

设

计

意

图

问题引领

3分

合作

探究

6分

自主

建构

6分钟

合作

探究

4分钟

6分钟

以问题的形式引导

学生回顾量积

复习前面1）

两个向量的夹角的定义

类比平面向所学的平

量的数量积面向量的如图，已知两个非零向量a,b.在空间任取一点O，

的有关概念、相关知识，作OAa,OBb,则角AOB叫做向量a与b的夹角，

计算方法和为学习好记作：a,b

运算律推导空间向量

出空间向量做好铺垫。的数量积的

a

有关概念、计

算方法和运

算律

bb

范围：0a,b在这个规定下，两向量的夹角就结合复习过

的知识，学生被唯一确定了，并且a,b＝b,a

明确空间探究讨论



向量夹角如果a,b,则称a与b互相垂直，并记作：ab

的概念

2

2）两个向量的数量积

设的长度叫做向量a的长度或模,记作：a

OAa,则有向线段OA

已知空间两个向量a,b，则abcosa,b叫做向量a,b的数量积，学生探究交

流讨论。

记作：ab,即

ababcosa,b

让学生对

注意：

空间向量

①两个向量的数量积是数量，而不是向量. 数量积有

②零向量与任意向量的数量积等于零

更深的理结合平面向解

量的学习，让

③空间向量的数量积性质

学生自学、探

对于非零向量

a

,b

，有：

究对学生可

1)aeacosa,e能出现的问

力求改变题，组织学生

2)abab0单一、被动讨论、交流、

2的学习方3)aaa纠正

式，让学生

成为学习

的主人，给

他们提供

学生口答

aA O B

注意：

①性质2）是证明两向量垂直的依据；

②性质3）是求向量的长度（模）的依据；

4)空间向量的数量积满足的运算律

1)(a)b(ab)

2)abba(交换律）

）3a(bc)abac(分配律）

注意：数量积不满足结合律

点拨（

ab)ca(bc)提升

25分钟

1

.已知a22,b,ab22

a,b所夹的角为________.

则

2.判断真假:

1)若ab0,则a0,b0 ( )

2)(ab)ca(bc)()点拨223)pq(pq)2()提升

22

4)pqpqpq()

12分

例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂

直,那么它也和这条斜线垂直.

例2: 已知直线m ,n，是平面

内的两条相交直线,

如果lm,ln,求证: l

课堂练习

练习1.已知线段AB,CD在平面内，BDAB,

线段AC如果ABa,BDb,ACc,

求C,D之间的距离。

练习2.已知空间四边形OABC,OBOC,AOBAOC,求证：OABC.

3.已知向量

学生分组讨论、纠正、

争辩，合作交流

引出共面向量定义

交流问题，给每一个学生表现个人的机会。

学生板演，注重步骤。

学生完成

鼓励学生先尝试分析。

学生展示

应用整合，强化新知

a,b满足a1,b2,ab3, 则ab_____. 一个自主探索学习的机会.

让学生对两个问题进行对比分析，强化对空间向量的数量积运算的理解.有助于教学目标的实现，

将一个复杂问题分解成为两个简单问题，易于学生理解.

不同层次的题目，层层递进，不断提高学生的能力。不仅巩固新学的知识，而且让不同层次的学生得到不同的收获.

通过典型例题让学生理解本节的知识点

总结

评价

3分钟

布置

作业

通过学习, 我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：

1、证明两直线垂直; 学生总结归 2、求两点之间的距离或线段长度; 纳所学知识

3、求两直线所成角.

必做题：P92 练习1、2、3

选做题： A组 1、2、3、4

培养学生总结归纳的能力

使不同的学生得到不同的锻炼