习题3.1名师教学视频（文字实录）

课题：直线的倾斜角和斜率

（第一课时）

江西省吉安市安福县安福中学

罗明铁

【教学目标】

（1）

知识目标 ①

让学生经历倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程，能自然理解倾斜角的概念。

②

通过对坡角、坡度概念回顾，经过教学使学生能把此知识迁移到直线的斜率中，并理解斜率的定义。

③

经历用代数方法刻画直线斜率的过程，使学生初步掌握过已知两点的直线的斜率坐标公式。

（2）能力目标

①

通过直线的倾斜角概念学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索、和抽象概括能力，运用数学语言的表达能力，数学交流与评价能力。

②

通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，渗透辩证唯物主义思想，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。

（3）情感目标： ① 通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生 的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位。 ②

通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数 学的魅力，使学生初步形成做数学的意识和科学精神。

第

1 页

共

8 页

【教学重点】

①直线倾斜角与斜率概念；

②推导并掌握过两点的直线斜率公式；

③体会数形结合及分类讨论思想的作用。

【教学难点】

斜率概念的学习和过两点斜率公式的建立过程。

【教学方法】教师启发引导与学生自主探索相结合。

【教学手段】多媒体辅助课堂教学。

【教学过程】

创设情境，导入新课

利用水上乐园的滑梯这情境，向学生设问

坐哪个滑梯更刺激，速度更快？为什么？（学生回答）

滑梯的陡峭与平缓反映滑梯的倾斜程度，这一节课我们要学习反映直线倾斜程度的两个几何量——倾斜角与斜率，从而揭示课题。

问题情境，形成概念

第

2 页

共

8 页

问题1、在平面直角坐标系内，过两点可以画几条直线？

过一点可以画几条直线？

问题2、与x轴正方向成30º角的直线有多少条? 过定点P且与x轴正方向成30º角直线有多少条？

引导学生得出倾斜角的意义和概念。

师生互动，新课探究

一、

倾斜角的定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫做直线l的倾斜角。

规定：当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0º. 思考：把谁旋转，怎样旋转，旋转到什么位置？

练习：下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )

第

3 页

共

8 页

问题3、在平面直角坐标系中，过点P的直线的倾斜角可分为哪几类？

yoplxyolyopypxlpxolx(1) (2) (3)(4)当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0，数形结合得出倾斜角的范围是0≤α＜180

回顾旧知，迁移应用

(1)对于生活中斜坡，我们是用什么量刻画它的倾斜程度？

（坡角与坡度）

(2)坡度定义是什么？

坡度铅直高度tan(为坡角)

水平长度（3）坡度随坡角变化如何变化？

迁移平面直角坐标系中的直线

斜坡直线的倾斜角 坡角对应直线的斜率。

坡度对应二、直线的斜率

第

4 页

共

8 页

上图图(1)中倾斜角为锐角，图中横坐标x从0到1增加一个单位，纵k坐标y从0增加到k(k>0),我们称k为这条直线的斜率。APtan，OA右图图(2)中倾斜角为钝角，当横坐标x从0到1增加1个单位时，纵坐标y 从0减少了k（k>0），我们称－k为这条直线的斜率。

klkAP

倾斜角为钝角时，直线的斜率可转化到其补角(180º-α)来求. 思考：倾斜角为0º时，斜率是多少？倾斜角为90º时呢？

2、直线的斜率：倾斜角不是90的直线，其倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即k=tanα (0º≤α<90º或90º<α<180º) 倾斜角是90 °的直线的斜率不存在。

例如：直线kl的倾斜角为45,则斜率为：OAtantan(180)tan451

直线l的倾斜角为ktan120tan603120,则斜率为：讨论交流，加深理解

问题4、当倾斜角变化时，斜率k如何变化？（动画演示）

第

5 页

共

8 页

y lp x o y lly p y p x o p lx o x o 0o90o直线的倾斜角为锐角，k>0； 随着直线的倾斜角增大，k值增大。 90o垂直于x轴的直线的倾斜角为90°，但其斜率不存在。

90o180o0o直线的倾斜角为直线平行于x轴或钝角，

k<0 ； 与x轴重合，此时随着直线的倾斜角直线的倾斜角为增大，k值增大。 0°，

k=0。

新知演练

及时反馈 例1 .直线

l1、

l２、

l３

、 l4的斜率分别是k1、

k２、

k３、 k4 ，试比较斜率的大小.

巩固练习：下列说法正确的是（ D ）

A、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 ; B、直线的倾斜角越大，斜率也越大; C、平行于x轴的直线的倾斜角是0º或180º; D、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等. 三、过两点的直线斜率计算公式

问题5、在平面直角坐标系中，已知直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）且x1  x2，怎样用P1

、P2的坐标来表示直线斜率k？

解：设直线P1 P2倾斜角为（90）,过点P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线交于点Q，则点Q为（x2，y1）

第

6 页

共

8 页

（1）当为锐角时，QP1P2 ktantanQP1P2QP2yy1

2P1Qx2x1（2）当为钝角时，180（设QP， 1P2=）tantan(1800)tan

tany2y1yy1

2x1x2x2x1y2y1yy 即k21

x2x1x2x1yyy2y1，即k21

x2x1x2x1yP2（x2，y2）P1（x1，y1）OyQ （x2，y1）tan综上，无论为锐角或钝角，都有tanyP2（x2，y2）P1（x1，y1）αQ （x2，y1）Oxαx

yP1（xyy1）轴或轴时，上述结论适用吗？

1，P1（x1，y1）12思考： 1、当直线垂直于xα22Q （x，y）2、斜率公式使用时应注意什么问题？

P（x，y）2O新知演练

及时反馈：

xQ （x1，y2）OP2（x2，y2）αx例2.求经过下列两点直线的斜率： （1）A（2, 3）,B（6,5） （2）A（－3,5）,B（4,－2） （3）A（3,2）,B（-4,2）

（4）A（3，2），B（a，4）.

第

7 页

共

8 页

思考题：已知A（1，－5），B（5，3），C（－4，a）在同一条直线上，求实数a的值。

小结：

1、直线的倾斜角的定义，范围：0≤α＜180；

2.直线斜率的定义：k=tanα（0≤α＜180且α≠90°）

3．直线斜率的求法：（1）定义法: k=tanα（0≤α＜180且90）

（2）坐标法：k

板书设计 y2y1.(x1x2)

x2x1

直线的倾斜角与斜率

1、倾斜角的定义

范围0≤α＜180

直线斜率定义：k=tanα（0≤α＜180且90）

3．斜率求法：（1）定义法: k=tanα（0≤α＜180且90）

21.(x1x2)

（2）坐标法：k yyx2x1布置作业：课本P63：第1、3、5题

第

8 页

共

8 页