3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示优质公开课教案

§3.1.4 空间向量的正交分解

及其坐标表示

教学目标

1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；

2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；

教学设计

3．初步体会“类比”

“转化”在数学探究、数学发现中的重要作用，体验探究与发现的乐趣。

重点：空间向量的基本定理, 空间向量的坐标运算

难点：空间向量的基本定理,空间向量坐标的确定

教学模式

“三段六环”

教学方法

引导自主学习、合作探究法

教具器材

多媒体课件、自主探究学习导案

教学过程

一、情景导入，激发探究

（预习教材P92-96找出疑惑之处, 并进行讨论交流。）

二、抢答复习1-3

三、任务分配，成果展示

探究任务一：空间向量基本定理

问题：类比平面向量基本定理，对空间的任意向量a，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？

新知：

1、空间向量的正交分解：空间的任意向量a，均可分解为不共面的三个向量1a1、2a2、3a3，．．．使a1a12a23a3. 如果a1,a2,a3两两

，这种分解就是空间向量的正交分解.

C'2、空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c

，对空间任一向量

Cp，存在有序实数组{x,y,z}，使得pxaybzc. 我们把

叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量.

（2）空间的基底是唯一的吗？

PBP'M B'OA反思：（1）三个向量a,b,c能构成空间的一个基底的充要条件是_____________ 3、单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相

，长度都为

，

则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i，j，k｝表示. 探究任务二：空间向量的坐标表示

问题：类比平面向量的坐标表示，对空间的任意向量a，能否用坐标表示？如果能，那需要几个坐标？

4、空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz，且设i，j，k为

x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，那么，对于空间任意一个向量a，A'

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一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量OAa.则由____ ．．．．．．．．．．．．．__________________可知，存在有序实数组{x,y,z}，使得axiyjzk，则称有序实数组{x,y,z}为向量a的坐标，记作a

.，其中x叫做横坐标，y轴叫做纵坐标，z叫做竖坐标。

探究任务三：空间向量的坐标运算

问题：类比平面向量的坐标运算，空间向量的坐标运算公式是什么样的？

5、向量的直角坐标运算：

⑴设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则

①a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；

②a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；

③λa＝(a1,a2,a3)(R)；

④a·b＝a1b1a2b2a3b3. ⑵设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB＝

. 即一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的____点的坐标减去___点的坐标。

热热身，你一定行！

1. 设a2ij3k，则向量a的坐标为

.

2. 若A(1,0,2)，B(3,1,1)，则AB＝

. 3. 已知a(1,3,8),b(3,10,4)，求ab,ab,3a,a·b

※

典型例题

例1

已知向量a,b,c是空间的一个基底，从向量a,b,c中选哪一个向量，一定可以与向量pab,

qab构成空间的另一个基底？

变式：已知O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C是否共面？

小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：_____________________________ 例2

如图，M,N分别是四面体OABC的边OA,BC的中点，P,Q是MN的三等分点，用基向量OA,OB,OC

表示OP和OQ.

变式：已知平行六面体OABCO'A'B'C'，点G是侧面BB'C'C的中心，且OAa，OCb,OO'c，试用基向量a,b,c表示下列向量: ⑴OB',BA';

⑵

CA'，OG.

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※

动手试试

练1. 已知a2,3,1,b2,0,3,c0,0,2，求：

⑴abc；

⑵a6b8c.

练2.

正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，以A为坐标原点，以AB,AD,AA1为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则点D1的坐标是

，AC的坐标是

，AC1的坐标是

. 四、点评拓展

五、学习小结

六、双基检测



课后作业

1. 已知A3,5,7,B2,4,3,求AB,BA,线段AB的中点坐标及线段AB的长度.

2. 已知a,b,c是空间的一个正交基底，向量ab,ab,c是另一组基底，若p在a,b,c的坐标是1,2,3，求p在ab,ab,c的坐标.

反思提高

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