3.1.2 导数的概念教案教学设计

教学设计

名称

基本信息

执教者

所属教材目录

导数的概念

郝红霞

课时

1课时

普通高中课程标准实验教科书

数学选修1-1 本课内容是人教社A版普通高中课程标准实验教科书《数学》（选修1-1）第三章《导数及其应用》3.1.2导数的概念（课本P74—P76）。数学概念教学的核心价值是“凸现数学本质，强化问题教学，营造思维过程，实现育人价值”。本节采用了探究式、发现式的教学方式，就是让学生观察、操作、比较有关的学习材料，自己去探索发现知识，获得概念、公式和原理。

自17世纪牛顿和莱布尼兹发明微积分之后，微积分得到了突飞猛进的发展，并广泛应用于物理学、天文学、经济学等其它学科和生产生活的各个领域，推动了科学技术的迅猛发展，揭开了人类事业发展的新篇章。导数作为微积分的核心概念，其地位举足轻重。中学数学教材把“导数及应用”单独作为一章，“导数的概念”是全章教材分析

重点内容之一，这不仅源于导数自身的严谨结构，更重要的是，对导数的深入理解与熟练应用是一种高明而又复杂的数学思维。用导数处理函数的相关问题更具普遍性，更能获得理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使我们扩展知识面，感悟变量、无限逼近的极限等思想，从而运用更高的数学工具和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题。

为了使导数的概念更容易被理解、接受，新教材改进了旧教材的方法，依据高中学生的认知水平，从平均变化率入手，用直观形象的“无限逼近”方法定义导数，深入浅出的展示了导数概念的要领和实质。

通过对高一物理中平均速度、瞬时速度及前节课中平均变化率的学习，学生已经对变化率的概念有了初步的了解和和直观的认知，这些将对本课程（导数的概念）的学情分析

学习起到重要的铺垫作用。此外，本班是高二年级文科实验班，学生思维活跃，学习积极性高，已经基本具备了对数学问题进行合作探究的意识与能力。

知识与能力目标

过程与方法目教学目标

概念的形成过程，学习归纳、类比的推理方式；体验无限逼近、从特标

殊到一般、化归与转化的数学思想；提高广泛联系、抽象概括能力。

情感态度与价值观目标

重点

教学重难点

难点

教学策略与设计说明

对导数定义的理解。

培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等对立统一观点，形成正确的数学观。

导数定义的形成过程和导数的内涵。

通过对高台跳水实例的分析，与学生共同体验由平均变化率到瞬时变化率的过渡，体会导数概念的实际背景。

领会瞬时变化率的实质，形成导数概念，了解导数内涵；通过导数数学是由概念与命题等内容组成的知识体系，它是一门充满思维的学科，而概念又是这种思维的语言，因此概念教学是中学数学教学中至关重要的一项内容，是基础

知识和基本技能教学的根基。正确理解概念是学好数学的基础，学好概念是学好数学重要的环节.结合新课程的理念和我所教学生的实际情况，进行了这样的教学设计，本设计主要有以下两个特点：

（一）设计理念

1.体现数学来源于实践的认识论

每一个概念的产生都有丰富的实际背景，舍弃这些背景，直接抛给学生一系列的概念，是传统教学模式中司空见惯的做法，这种做法常常使学生感到茫然，失去了感受数学来源于生产实际的极好机会。弗兰登塔尔认为，数学教育应从学生熟悉的现实生活开始。

根据弗兰登塔尔的这一观点，我依据课本引导学生从高台跳水这一实际问题出发进行研究，揭示数学来源于实践的真谛。通过师生共同活动，着力体现教师“导”、学生“学”及其教学过程中的＂悟＂三个方面中多要素的和谐统一。

2.遵循特殊到一般的认知规律

本节课的设计，通过将实际问题数学化，从具体问题到抽象概念，符合可接受性和可操作性原则，本能地把教学目标的落实融入到教学过程之中。通过演绎导数的形成、发展和应用过程，帮助学生主动建构概念。

3.重在提高学生的实践能力与创新意识

贯彻新课程精神，根据学生实际情况和自身特点，采用针对性的教学策略，因材施教。教学中，通过引导学生动手实践、自主探索、合作交流，培养其良好的学习习惯，提高其实践能力与创新意识，树立终身学习理念。

（二）教学策略:做到教学有实效

采用“ab

学习”，也就是

a:

教师启发、诱导、激励、评价等为学生的学习搭建支架，把学习任务转移给学生。b:学生接受任务，探究问题，完成任务。

ab:以问题为核心，通过对知识的发生、发展和运用过程的演绎、揭示和探究，组织和推动教学。

在导数概念教学中教师引导学生自主探究得出导数概念，实际上让学生体验了导数概念的发现过程，从而加深学生对导数概念的认识、理解与应用。

教学过程

教学环节（注明每个环节预设的时间）

教师活动

学生活动

设计意图

(1)让学生认识到平均速度只能粗略描述师生共同回顾上节课所学内容，【回顾例1】

由运动员在0t高台跳水运动员在某段时间内的运动状态。

(2)让学生产生进一步学习的欲望，即有必要知道高台跳水运动员在任意时刻的速度。在此之前学生已经完成了3.1.1的探究作业。

65这段时49间里的平均速度为0，引出我们需要求运动员在任意时刻的速度，即瞬时速度。当运动员从10米高台跳水时，师生共同回顾上节从腾空到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的.假设t秒后运动(1)复习回顾，引入这节课所要研究的问题。（3分钟）

员相对地面的高度为：员在0t课所学内容，由运动65这49H(t)4.9t26.5t10，问在2秒时运动员的瞬时速度为多少？

段时间里的平均速度为0，引出我们需要求运动员在任意【回顾例2】

已知曲线C是函数时刻的速度，即瞬时速度。

f(x)4.9x26.5x10的图象,求曲线上点P(x0,y0)处的切线斜率。

(2) ①如何求高台跳水运动员在t引导学生”以已知探求未知”，组织学生从高台跳水这个模型入手，讨论运动员在t和t(1)应特别注意思考方法的引导，

以已知探求未知。

(1)首先由学生介绍①的物理解法，然后(2)如何用数学语言描述t2s附近是难点，基于课堂时间的考虑，上节课教师和学生已经充分交流过，学生基本可以准确描述了。

2s时的瞬时速度？

②如果我们将h与2s附近的平均速度t关系改为：2s时的瞬时速度之间的关教师提问“我们能不能用已有方法解决问题②？”

s(t)4.9t36.5t210如何求运动员在系，阐述想法。

3)师生共同确定想法：先计算t2s

时的瞬时速度呢？（5分钟）

t2s附近的平均速度，然后再细致地观察它附近平均速度的特点。

教师在巡视中，努力做到：

(3)由学生自己按照分好的学习小组，合作交流，自(1)引导学生采用简洁的数学表达式计算运动员在[2+t，2] （t0)及[2，2+t]（t0)的平均速度。

1)熟悉符号，鼓励学生尝试用1)让学生在亲自计算的过程中感受逼近的趋势。

理解导数的内涵是本节课的教学重难点，通过层层设疑把学生vh(2t)h(2)t来计算高台跳水运主探究。（10分钟）

(2)教师根据课堂情况，合理调整四个学习小组的探究任务，努力做到学动员在t2s前后

生动手计算的过程中，既有从左边逼近2s时平均速度的数值，也有从右边逼近2s时平均速度的数值，两次体会无限逼近的数学思想。

运动员的平均速度。

推向问题的中心，让

学生动手操作，直观感受来突出重点，突破难点。

3)直观的想法需通过数量计算得以明确。根据学生实际情况，可适当增加表格中的取值，更多的数值有利于学生发现其中蕴涵的规律。

1)学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，以便观察、比较、归纳、提炼实质. 1)组长或小组代表2)让学生经历观察、上台展示本组的具分析、比较、归纳、体实施步骤、计算过发现规律的过程，体程、计算结果，以及1)教师结合学生展示情况，作必要的说明和展示。

(4)教师组织学生按小组进行探究成2)教师介绍符号表示，并解释符号含果展示。（6分钟）

义.为了表述方便，数学中用简洁的

符号来表示，即会瞬时速度的含义。

从中发现的规律。

3)在这里应给予学生2)解决了我们提出的问题t趋于0时，运动员的平均速说出自己的发现，并度趋于一个确定的逐步修正到最终的结论为止。

充分思考和讨论的时间和空间，引导他们t0limh(2t)h(2)t13.1

值13.1。即运动员在t2s时的瞬时速度为13.1m/s。

通过数与形的结合，(5)对扫清了学生的思维障学生从一次函数的角度解释：

碍，更好地突破了教学的难点，让学生感受数学的简约美，加深学生对知识的认识和理解。

h(2t)h(2)v

教师借助图象进行动态演示。

t4.9t13.1

v的再认识。（3分钟）

h(2t)h(2)

t4.9t13.1

从特殊点t2上升到任意点tt0瞬时速(1)带领学生回顾探求t2s时瞬时速度的全过程。

(6)运动员在(2)引导学生继续思考：运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何形式化表2)学生继续思考：运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何形式化表示？

用数学符号的习惯。

(3)学生意识到将t0与旧教材相比，这里度的表示，提高了他们的思维能力，体现了特殊到一般的思维方法，并养成规范使tt0时的瞬时速

度表示。（3分钟）

示？

(3) 引导学生意识到将t0代替2，可类比得到：lim代替2，可类比得到：不提及极限概念，而h(t0t)h(t0)

limh(t0t)h(t0)

是通过形象生动的逼t0t0tt近思想来定义t0时刻的瞬时速度，更符合学生的认知规律。

1)在前面问题的铺垫下，教师进一步提出，函数的(7)将这个变化率问题中的函数用瞬(1)引导学生舍弃具体问题的实际意义，抽象得到导数定义，由浅入深、由易到难、理解、记忆导数的概念

'yf(x)在xx0处时变化率f(x0x)f(x0)ylimlimx0xx0x即由特殊到一般，帮助学生完成了思维的飞跃。

f(x)来表示，得yf(x)在xx0处的导数，yx0xf(x0x)f(x0)limx0x出函数f(x)在记作：

xx0处的瞬时变化率。（4分钟）

f'(x0)limyf(x0)lim(2)通过对导数概念x0xf(xx)f(x0)的分析，

加深学生对lim0x0x

导数概念的理解。

(也可记为y'|xx0) (2)教师强调对导数概念的理解。

1)提及导数产生的时代背景，让学生感受数学文化的熏陶，感受数学来源于生活，(8)学生介绍导数产生的背景和作用。（3分钟）

教师结合课前学生上交的预习作业，安排同学课上介绍展示自己的预习成果。

又服务于生活.教师学生课上介绍展示自己的预习成果。

结合课前学生上交的预习作业，安排同学课上介绍展示自己的预习成果。

(2)让学生体会导数具有工具性作用，后

面我们会利用它解决重点解决函数单调性及最值问题，鼓励大家课下自主学习。

(9)例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第注意根据学生解题情从学生的已有知识1)说明导数况，教师注意矫正学巩固对导数定义的理解，感受导数内涵。xh时，原油的温o生出现的问题，强调f'(x0)反映了函数出发，让学生独立完成例1，上台板演，让学生感受利用导数解决具体问题的一般过程。

细节。

度（单位：为C）yf(x)在xx0附近的变化情况。

2)教师规范利用导数解决问题的一般步骤。

和第

f(x)x27x15

(0x8)计算第2h6h，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。（5分钟）

学生自主思考后，课堂集中交流，师生互教师适时点拨和引导，小结应包含如下三方面内容：一．知识方面：导数的定义及其内涵；用导数求解瞬时变(10)课堂小结2分钟

化率问题。二．数学思想方法：无限逼近的数学思想，从特殊到一般的探究方法。三．研究问题的步骤：提出问题寻求想法确定想法实施。操作发现规律；思考方法：以已知探求未知。

相补充完善。

这是一个重组知识的过程，是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我熟悉过程．让学生通过小结，反思学习过程，加深对导数的产生背景和形成过程的印象，从而深刻理解导数概念及其内涵。领会研究问题的方法；明确研究问题的步骤。

1)P76课本练习题用定义计算例题1中第3h和第5h时原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。

布置作业

（1分钟）

3)已知y=x3－2x+1，求y′，y′|x=2。

2)用导数的定义求函数yx22x在x2处的导数。

板书设计

导数的概念

1.复习回顾 3.导数的概念 学习目标

例题1）2） 1. 2. 2.新课引入 4.课堂小结 3. 例题

5.作业

学习效果评价设计

本节课对学生学习效果及教师自身教学效果的评价，围绕教学目标的落实情况，以过程性评价为主，形成性评价为辅的原则进行。

在课堂教学过程中，从学生的参与程度、概括能力、推理能力、学习兴趣、交流合作、情绪情感方面对学习进行评价。对出现问题的学生，教师善于发现其可取之处，耐心引导，对其问题细心分析，有助于培养他们勇于面对挫折、持之以恒的科学探索精神。

通过作业完成情况对学生的阶段性学习成果进行评价。准备下节课用如下练习来检测学生对导数概念的掌握情况。根据学生的完成情况，采取相应的教学策略。

重在提高学生的实践能力与创新意识。贯彻新课程精神，根据学生实际情况和自身特点，采用针对性的教学策略，因材施教。

由于导数是高等数学知识中的概念，学生对概念形成过程不易理解

引出导数概念后学生感觉对它的认识还是不够，所以我采取让学生反复理解无限逼近，取极限，导数即是瞬时变化率的极限。概念性的内容不易理解，我们通过练习题强化导数求解过程，然后学生对导数是瞬时变化率的极限有了深刻认识。新的概念教学反思

不易接受，而且导数概念是下一节导数几何意义的基础，所以课后作业中安排了四个习题继续强化练习。

一个概念的形成是螺旋式上升的，对新概念的抽象不仅是对结果的抽象，更是对方法和过程的抽象。本课引导学生经历了一个完整的数学概念发生、发展的探究过程.提出问题、观察归纳、概括抽象，拓展概念让学生充分经历了具体到抽象，特殊到一般，感性到理性，直观到严谨的知识再发现过程。教师作为学生学习的组织者、引导者、合作者创设机会和空间，激活学生思维的最近发展区，倡导学生积极参与，自主探究，发现知识，培养能力。

印象较为深刻的是导数的概念引出：学生从实例总结出导数就是瞬时变化率。

教学反思可以从以下方面阐述：

1．请对本节课进行简单的自我评价，是否满意；

2．有哪些精彩的瞬间；这节课中你最满意的地方或者让您最兴奋的地方？

3．学生对这节课的学习达到你期望的水平了吗?你满意吗？这节课有哪些问题没有解决？为什么？或者让你觉得不足的地方在哪里？

4．课堂上有出乎你意料的事件发生吗？你是如何解决的？

5．如果让你重新上这节课，你会怎样上？有什么新想法吗？

6．从学生的作业、课后谈话等途径你觉得学生的学习效果如何？为什么会有这样的反应？

7．当时听课的老师或者专家对你这节课有什么评价？对你有什么启发？