1.1.3 四种命题间的相互关系教案推荐

1.1.2四种命题

1.1.3四种命题的相互关系

石河子第二中学 严华

（一）教学目标

◆知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假． ◆过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．

◆情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．

（二）教学重点与难点

重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系．

难点：（1）命题的否定与否命题的区别； （2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；

（3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．

教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．

（三）教学过程

学生探究过程：

１．情景引入

【一个关于毛驴的故事】：

甲丢失一头跛腿毛驴，四处寻找，恰好看见乙牵着一头跛腿毛驴经过，甲上前对乙说：“这是我的毛驴，请还给我.”乙说：“这明明是我的毛驴，怎么会是你的呢？”甲说：“我的毛驴是跛腿的，你牵的毛驴若没有跛腿，就不是我的.但你牵的毛驴跛了腿，当然是我的.”

【问题1】：“从上述两人的对话中，你能判断出毛驴的主人是谁吗？”

【学生讨论】：有的说：“这头毛驴是甲的，因为毛驴的跛腿特征与甲的毛驴吻合.”还有的说：“这头毛驴不一定是甲的.虽然甲的毛驴是跛腿的，也许乙的毛驴也恰好跛腿.因此，这头跛腿毛驴不一定是甲的.”

【总结】：“甲不能仅从跛腿的特征判断毛驴是自己的，也就是说甲在判断上出现了错误.这是一种什么类型的错误呢？还是让我们对故事中存在的逻辑关系作一下分析.”

【问题2】：能否从甲、乙的对话中提炼出如下三个命题：

（1）甲的毛驴是跛腿的；

（2）没有跛腿的毛驴不是甲的；

（3）跛腿的毛驴是甲的. 【问题3】：这三个命题是什么关系呢？（教师留下了这个问题，接着讲解了四种命题的定义及其关系，然后又返回原问题）由四种命题的定义我们知道：（3）与（1）互为逆命题，（2）与（3）互为否命题，（1）与（2）互为逆否命题. 分别用符号表述上述三个命题，设p：甲的毛驴，q：跛腿毛驴，则上述三个命题可表示为：（1）若p则q ；（2）若非q则非p；（3）若q则p. 强调，写一个命题的其他形式关键是找出命题的条件和结论.

举例：

- 1 -

A，B，C，D四位同学在一起讨论数学问题. A问：对角线互相垂直的平行四边形是什么图形？B，C，D 的回答是：菱形.并且给出了各自的理由：B说菱形的对角线互相垂直；C说不是菱形的平行四边形，其对角线不垂直；D说对角线不垂直的平行四边形不是菱形。

B，C，D三位同学的答案都正确，但B，D在阐述理由时，出现了逻辑错误，他们分别认为原命题与逆命题、否命题同真；C同学阐述的理由正确，因为原命题与逆否命题同真或同假，C同学的论述相当于反证法.其实也可采用直接证法：当平行四边形的对角线互相垂直时，其对角线必互相垂直平分，从而平行四边形的两邻边相等，所以该图形是菱形。

【设置意图】：兴趣是最好的老师，兴趣可以唤起某种动机，兴趣可以使学生成为学习的主人。使本来平淡无味的概念课变的生动活泼，使学生在贴近生活的实际问题中，饶有兴趣地接受了新知。同学们可跟随着老师的讲解，检查并巩固一下自己对这部分知识的学习。起承上启下的作用。

2．思考、分析

例1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数． （2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．

（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．

【设置意图】：寻找不同命题的条件与结论之间存在什么关系？为四种命题的概念形成埋下伏笔。

３．归纳总结

问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论．紧接结合此例给出四个命题的概念，（１）和（２）这样的两个命题叫做互逆命题，（１）和（３）这样的两个命题叫做互否命题，（１）和（４）这样的两个命题叫做互为逆否命题。

４．抽象概括

定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．

让学生举一些互逆命题的例子。

定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．

让学生举一些互否命题的例子。

定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．

让学生举一些互为逆否命题的例子。

小结： (1)

交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：

(2)

同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；

(3)

交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．

强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。

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【设置意图】：区分四种命题的条件与结论之间的互逆与否定之间的关系。

例2.写出命题“若a0，则ab0”的逆命题、否命题与逆否命题.

练习1.把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题

（1）对顶角相等；

（2）四条边相等的四边形是正方形；

（3）两个偶数的和是偶数；

（4）两个无理数的和是无理数；

（5）若x21，则x1. ５．四种命题的形式

让学生结合所举例子，思考：

若原命题为“若P，则q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？

学生通过思考、分析、比较，总结如下：

原命题：若P，则q．则：

逆命题：若q，则P．

否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）

逆否命题：若￢q，则￢P．

６．巩固练习

写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假：

（１）

若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；

（２）

若一个整数的末位数字是０，则这个整数能被５整除；

（３）

若x2=1,则x=1； （4）若整数a是素数，则是a奇数。

【设置意图】：通过实例，学会准确写出命题的逆命题、否命题、逆否命题并作出真假判断。

例3. 以“若x23x20，则x2”为原命题，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假并总结其规律性. 练习3：判断下列命题的真假. (1)

命题“在ABC中，若ABAC，则CB”的逆命题；

（2）命题“若ab0，则a0且b0”的否命题；

（3）命题“若a0且b0，则ab0”的逆否命题；

（4）命题“若a0且b0，则a2b20”的逆命题.

７．思考、分析

结合以上练习思考：原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？

通过此问，学生将发现：

①原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②原命题为真，它的否命题不一定为真。

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③原命题为真，它的逆否命题一定为真。

原命题为假时类似。

结合以上练习完成下列表格：

原 命 逆 命 否 命 逆 否 命 题

题

题

题

真

真

假

真

假

真

假

假

由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．

由此会引起我们的思考：

一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢？

让学生结合所做练习分析原命题与它的逆命题、否命题与逆否命题四种命题间的关系．学生通过分析，将发现四种命题间的关系如下图所示：

８．总结归纳

若P，则若q，则

q．

P．

互 逆

原命题

逆命题

互 否

为

逆

互

互

否

否

为 逆

互

否

否命题

互 逆

逆否命题

若￢P，则若￢q，则

￢q．

￢P．

由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

９．例题分析

22 例题：

证明：若p

＋ q＝2，则p ＋ q ≤ 2．

分析：如果直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明。

22 将“若p

＋ q＝2，则p ＋ q ≤ 2”视为原命题，要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题“若p + q ＞2，则p2 + q2 ≠2”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的．

证明：若p ＋ q ＞2，则

p2

＋ q2

＝111［（p －q）2＋（p ＋q）2］≥（p ＋q）2＞×２２＝２

222所以p2

＋ q2≠2．

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这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。

练习巩固：证明：若a2－b2＋２a－４b－３≠０，则a－b≠１．

【设置意图】：通过本例，学会命题真假判断，并通过转换命题进行证明。

【随堂反馈练习】：

1.判断下列说法是否正确：

（1）一个命题的否命题为真，它的逆命题也一定为真；

（2）一个命题的逆否命题为真，它的逆命题不一定为真. 2.判断下列命题的真假

（1）命题“在⊿ABC中，若AB＞AC,则∠C＞∠B”的否命题；

（2）命题“若ab0，则b0”的逆否命题.

3.写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假：

（1）若|a||b|，则ab； （2）若x0，则x20；

（3）空间两条平行直线不相交； （4）xy0，则x,y全为0. 4. 命题“若x0且y0，则xy0”的否命题是（ ）. A.若x0,y0，则xy0 B.若x0,y0，则xy0

C.若x,y至少有一个不大于0，则xy0

D.若x,y至少有一个小于0，或等于0，则xy0

5 命题“正数a的平方根不等于0”是命题“若a不是正数，则它的平方根等于0”的（ ）. A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.等价命题

6. 若x1，则x21的逆命题是 否命题是 7.命题“若ab，则2a2b1”的否命题为 8. 已知a,b是实数，若x2axb0有非空解集，则a24b0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假. 【设置意图】：便于及时掌握学生学习情况。

22１０：教学反思

（１）逆命题、否命题与逆否命题的概念；

（２）两个命题互为逆否命题，他们有相同的真假性；

（３）两个命题为互逆命题或互否命题，他们的真假性没有关系；

（４）原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价．

１１：作业

P9：习题1．１Ａ组第２、３、４题

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