1.2.1 充要条件优秀教案内容

数学高考总复习：四种命题、充要条件

【考纲要求】

1、理解命题的概念. 2、了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。

3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 【知识网络】

四种命题、充要条件

四种命题及其关系

互为逆否关系的命题等价

充要条件充分、必要、充要、既不充分也不必要【考点梳理】

一、命题：可以判断真假的语句。

二、四种命题

原命题：若p则q； 原命题的逆命题：若q则p；

原命题的否命题：若p，则q； 原命题的逆否命题：若q，则p

三、四种命题的相互关系及其等价性

1、四种命题的相互关系

原命题若p则q互否互互互为为逆逆否逆否逆命题若q则p互否否命题若p则q互逆否命题逆若q则p

2、互为逆否关系的命题同真同假，即原命题与逆否命题的真假性相同，原命题的逆命题和否命题的真假性相同。所以，如果某些命题（特别是含有否定概念的命题）的真假性难以判断，一般可以判断它的逆否命题的真假性。

四、充分条件、必要条件和充要条件

1、判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断。

如：命题p是命题q成立的××条件，则命题p是条件，命题q是结论。

又如：命题p成立的××条件是命题q，则命题q是条件，命题p是结论。

又如：记条件p,q对应的集合分别为A,B则AB,则p是q的充分不必要条件；AB,则p是q的必要不充分条件。

2、“”读作“推出”、“等价于”。pq，即p成立，则q一定成立。

3、充要条件

已知命题p是条件，命题q是结论

（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件. 所谓“充分”，意思是说，只要这个条件就够了，就很充分了，不要其它条件了。

如：x3是x4的充分条件。

（2）必要条件：若qp，则p是q必要条件. 所谓“必要”，意思是说，这个条件是必须的，必要的，当然，还有可能需要其它条件。

如：某个函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。函数要具有奇偶性首先必须定义域关于原点对称，否则一定是非奇非偶。但是定义域关于原点对称并不就一定是奇偶函数，还必须满足f(x)f(x)才是偶函数，满足f(x)f(x)是奇函数。

（3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件. 【典型例题】

类型一：四种命题及其关系

例1. 写出命题“已知a,b是实数，若ab=0，则a=0或b=0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。

解析：逆命题：已知a,b是实数，若a=0或b=0, 则ab=0, 真命题；

否命题：已知a,b是实数，若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题；

逆否命题：已知a,b是实数，若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题。

点评：

1.“已知a,b是实数”为命题的大前提，写命题时不应该忽略；

2. 互为逆否命题的两个命题同真假；

3. 注意区分命题的否定和否命题. 举一反三：

【变式】写出下列命题的否定，并判断真假. 2(1)∀x∈R，x＋x＋1>0；

121(2)∀x∈Q，

x＋x＋1是有理数；

32(3)∃α、β∈R，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；

(4)∃x，y∈Z，使3x－2y≠10.

2【解析】(1)的否定是“∃x∈R，x＋x＋1≤0”.假命题. 121(2)的否定是“∃x∈Q，x＋x＋1不是有理数”.假命题. 32(3)的否定是“∀α，β∈R，使sin(α＋β)≠sinα＋sinβ”.假命题.

(4)的否定是“∀x，y∈Z，使3x－2y＝10”.假命题. 类型二：充要条件的判断

2x例2.设有两个命题：p：x－2x＋2≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．

解析：若命题p为真命题，可知m≤1；

若命题q为真命题，则7－3m>1，即m<2. 所以命题p和q中有且只有一个是真命题时，有p真q假或p假q真，即m1m>1或1m2

m2m<2点评：

1. 处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论；

2. 正确使用判定充要条件的三种方法，要重视等价关系转换. 举一反三：

【变式】条件p:|x|1,条件q:x2,则p是q的( ). A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

【答案】A. 解析：p:|x|1x1或x1；q:x2，

显然“qp”成立“pq”成立，

所以p是q的充分但不必要条件. 类型三：求参数的取值范围

2例4.已知m∈R，设P：x1和x2是方程x－ax－2＝0的两个根，不等式|m－5|≤|x1－

2x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立；Q：函数f(x)＝3x＋2mx＋m＋有两个不同的零点.求使“P43且Q”为真命题的实数m的取值范围. 解析：由题设x1＋x2＝a，x1x2＝－2，

∴|x1－x2|＝(x1＋x2)－4x1x2＝a＋8. 2当a∈[1,2]时，a＋8的最小值为3. 要使|m－5|≤|x1－x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立，只须|m－5|≤3，即2≤m≤8.

42由已知，得f(x)＝3x＋2mx＋m＋＝0的判别式

3422Δ＝4m－12(m＋)＝4m－12m－16>0，

3得m<－1或m>4. 综上，要使“P∧Q”为真命题，只需P真Q真，即

222m8,

m1或m4解得实数m的取值范围是(4,8]. 点评：

从认知已知条件切入，将四种命题或充要条件问题向集合问题转化，是解决这类问题的基本

策略。

举一反三：

【变式】设命题p:4x31；命题q:x2(2a1)xa(a1)0，若p是q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】由题意知：命题：若p是q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要条件. p:4x311x1；

2q:x2(2a1)xa(a1)0即xaxa10，所以axa1

1]Üa,a1，

∵p是q的充分不必要条件，即[，如图：

12，

11a则2，∴0a. 2a11即a的取值范围是a(0,).

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