小结教学创新设计

《立体几何专题复习》教学设计

一、教学设计

内容和内容解析

（1）内容：

本节课是高三一轮复习立体几何部分的小结课，主要是引导学生回顾用向量解立体几何的有关知识，并将坐标法与向量法有效结合，培养学生用向量法解决立体几何问题的能力。

（2）内容解析：

高考数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，向量与立体几何都是重点学习内容。空间想象能力是6大考查能力之一，而立体几何是考查空间想象能力的主要载体，立体几何问题的解法一般有几何法与代数法两种，它们从不同的角度解决立体几何问题。向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，是联系几何与代数的桥梁。用空间向量处理空间几何问题，空间几何元素间的位置关系转化为数量关系，形式逻辑证明转化为数值计算。由于思路清晰，降低了思维的难度，因此空间向量就成为处理空间几何问题的重要工具。向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学，工程科学等方面也有着广泛的应用，向量是近代数学的基本概念之一，它的初步知识及其应用，早已列入近代数学的基础部分。现代教育强调“知识结构”与“学习过程”，目的在于发展学生的思维能力，而把知识作为思维过程的材料和媒介，本节课以培养学生的思维品质作为目的地。

目标和目标解析

（1）目标：

①知识与技能目标：理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量方法解决直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直问题；能用向量方法解决直线与直线，直线与平面，平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用

②过程与方法目标：使学生经历建系求解过程，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

③情感态度与价值观目标：进一步发展学生空间想象能力和几何直观能力。

（2）目标解析：

高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空间点，线，面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算。综合考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，而在立体几何中，很多问题可以通过建立空间直角坐标系，借助空间向量将立体几

何中的平行，垂直，夹角等问题转化为向量的坐标运算，这又是化归与转化思想的体现。这就要求学生对空间向量有较深刻的理性认识，知道空间向量与立体几何的逻辑关系，能够对直线的方向向量与平面的法向量作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用直线的方向向量与平面的法向量对直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直及夹角的计算问题进行比较，判断，讨论，具备利用空间向量解决立体几何问题的能力。通过解题，学生的空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力及化归与转化思想得到锻炼，提升了学生的思维品质，同时既让学生认识到向量是一种重要的数学工具，“向量是躯体，运算是灵魂”，“没有运算的向量只能起到路标的作用”，又树立了学生学好立体几何的兴趣和信心。这节课的教学重点是理解并会求直线的方向向量和平面的法向量：能应用其运算结果准确反映直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直及夹角的计算问题。

教学问题诊断分析

用空间向量解决立体几何问题的：“三部曲”：⑴建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点，直线，平面，把立体几何问题转化为向量问题：⑵通过向量运算，研究点，直线，平面之间的位置关系以及他们之间距离和夹角等问题；⑶把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。学生有平面向量的基础，并学习了空间向量及其运算，在向量运算上没有太大问题，但是建立适当直角坐标系及准确求出点坐标是学生的困难所在，另外区分两个向量所成的角与所求空间角的关系是学生的另一个难点，尤其对个别空间想象能力困难的学生来说更是难上加难。产生前一难点的原因是学生只注重垂直，忘记要用右手系及只关注点到坐标平面的距离，忽略了符号问题：产生后一个难点的原因是画图能力差以及没考虑两种向量的方向不定。本节课主要解决例1这个知识性较强的例题，使学生进一步体会空间向量在解决立几问题中的广泛应用，再次熟悉立几中的向量法“三步曲”。适当地建立空间直角坐标系，准确求出点的坐标，准确应用空间向量求解空间角成为本节课的难点。

教学支持条件分析

⑴

通过多媒体展示设计宏伟的建筑，飞架的桥梁，曲折的轨道，高大的工程机械……说明生活中都会遇到许多立体几何问题，这些问题都与空间向量有着密切的关系。吸引学生眼球，提高学习兴趣。

⑵

课前布置学生思考本节课的例题，让他们了解自己对知识的掌握情况，以便提高课堂效率。用几何画板直观展示图形给学生立体感，通过问题链让学生有效地进行数学思维。

⑶

学生是受教育的主体，教师在你课程中应发挥主导的作用，对学科内容应有更深入的理解和更加广泛的背景知识，能合理安排有价值的引导问题，多角度，全方位地启迪学生

的思维，以提高学生的思维品质。

⑷

学生对向量已经有了一定的认知结构，有一定的自主意识，有自己的想法，敢于表达自己的观点，引导他们将已有的知识联结成一个知识网络，从宏观的角度更加清晰的认识到向量在解立体几何问题中的地位和作用。

【应用举例】：

例1：

（12年天津理科17题，13分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1. （Ⅰ）证明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长. PBACD

【活动】：

本题以四棱锥为载体，考查空间两条直线的位置关系，二面角，异面直线所成的角，直线与平面垂直等基础知识。可以让学生先思考，求解，组织大家交流不同的解题方法，概括出典型的方法。

教师：请大家找出其中的已知条件

学生1：四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1. 教师：请大家找出求解问题

学生1：（Ⅰ）证明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长. 【设计意图】：

引导学生认识到本题具有一定的综合性，通过阅读题目，使学生明确任务，理出本题解决的大体思路。

教师：本题可以用什么方法求解？

学生1：可以用向量法。

教师：怎样把问题向量化？

学生1：通过建立空间直角坐标系，将坐标法与向量法有效结合。

教师：如何建立坐标系？该注意什么问题？

学生1：找出三条两两垂直的直线AD，AC， PA，并分别以AD，AC， PA所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。用右手系。

则A0,0,0,B【设计意图】：

引导学生关注三条两两垂直的直线，使学生意识到通过把向量坐标化解决问题，培养他们结合题中条件建立适当坐标系的能力。

教师：让生1上黑板作图完之后，考虑例1（1），要证明PC⊥AD，应如何入手？

学生1：只需证明pcAD0即可。

由于PC0,1,2,AD2,0,0所以pcAD0成立，所以PCAD

教师：大家还有其他解法吗？

学生2：还可以用几何法来解，通过直线AD平面PAC来证明PC⊥AD。

【设计意图】：

启发学生考虑直线与直线垂直判定条件，锻炼直觉观察力。

教师：不错，那么大家在做的过程中感觉哪种方法简单些？

学生3：看上去向量法更简单些，但是建系时容易只考虑三条两两垂直的直线，而忽略要用右手系而导致错误。几何法是知道框架，细节不太会表述。

教师：很好，将学生的两种解法分别投影展示，大家马上发出“呀”的叫声，一对比，用向量法解的格式清晰，正确率高；用几何法解的格式乱，条理性差，让人看得很烦躁。所以如果大家是老师，更喜欢批阅哪种解法的呢？

学生群体：当然是向量法了。

【设计意图】：

通过学生做题的直观感知和两种解法的对比度让学生自然而然的意识到向量法的优势。为后面两小题用向量法解题做好导向和铺垫。

教师：考虑例1（2）应如何入手？

11,,0,C0,1,0,D2,0,0,P0,0,2

22

学生1：只需要找出两个平面的法向量，就可以用它们所成角的余弦来求解了。

教师：具体怎么求解呢？

学生1：由于PC0,1,2,CD2,1,0设平面PCD的法向量nx,y,z

nPC0y2z0 则即不妨令z1，可得n1,2,1

2xy0nCD0可取平面PAC的法向量m1,2,1

于是cosm,n.mnmn16306，从而sinm,n

66所以二面角APCD的正弦值为教师：非常好，求解顺利吗？

30

6学生1：总体还好，就是B点的坐标比较难求，尤其是横坐标的符号，另外不能把两个法向量所成角就当成是二面角了，他们可能相等也可能互补。要结合图形观察。

教师：说得非常到位。几何法能解吗？

学生2：也是可以的，因为直线AD平面PAC所以只需过A点做PC的垂线，垂足点计为H连接AH，则AHD即为二面角A-PC-D的平面角，再在三角形ADF中求解就可以了。

教师：说得很好，几何法求解的关键点是什么？

学生2：有注意到（1）中已经证明过直线AD平面PAC，就有了作图的思路。

教师：的确如此，那么这一小题大家又更倾向于哪种解法呢？

学生4：我还是更倾向于向量法，虽然这一题中几何法容易作图，但如果将图形换个角度或者其它图形中就未必了，而向量法就避免了作图。

教师：是的，尤其是空间想象能力比较弱的同学就更应该用向量法了。

【设计意图】：

启发学生考虑用向量法和几何法分别怎么求解二面角，经历求解过程来直观感知易错点和关键点，锻炼分析已知条件以及看图能力。通过两种解法的对比，让学生更加明确用向量法解立体几何的优势，提升学生的空间想象能力及思维品质。

教师：考虑（3），应如何入手？

学生1：设点E的坐标为0,0,h根据异面直线BE与CD所成的角为30°就可以建立一个方程，从而求出h的值即为AE的长

教师：具体过程呢？

11学生1：设点E的坐标为0,0,h，其中h0,2，由此得BE,,h，

22由于

CD2,1,0，

BECDBECD321h25231020h2故cosBE,CD

所以，31020h2cos303，解得10

10，即AEh21010教师：漂亮，解的过程中有什么障碍吗？

学生1：还好，就是要考虑清楚BE,CD与异面直线BE与CD所成的角之间的关系。

教师：所以说用向量这一工具解立体几何问题，只要会建系，准确求出点坐标，熟悉空间角与两个向量所成角的关系，就没什么难的了，而这些问题都不难解决，那么这一小题又能用几何法求解吗？

学生2：我想应该是可以的，只是图形不好作，我没做出来。

教师：感觉不错，那么你作图的难点是什么？

学生2：E点位置不定，所以BE似乎不好平移，而平移CD的话，似乎也不好将它移动至与BE相交。

教师：思维不错，只是没将想法做到底。那你看下面的作图行吗？

学生2：哦，原来没想象的那么难，我怎么就没作出来呢？

教师：当然这题的作图没那么容易，没想到也很正常。

【设计意图】：

引导学生找角，考虑向量法中点E坐标对计算是否重要？几何法中点E位置对图形的影响，通过两种解法的对比，巩固对运用向量方法求角度的掌握，同时让学生再次体会用向量法解题的优势，也树立学好用好向量法解决立体几何问题的兴趣和信心。

【整体设计意图】：

这道高考题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，但底面是非特殊的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点E的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好。同时也让学生体会“向量是躯体，运算是灵魂”，“没有运算的向量只能起到路标的作用”。通过师生之间的互动及不同解法的对比，提升用空间向量解决立体几何问题的意识，巩固用空间向量解决立体几何问题的方法，使得学生通过解决一题到能够解

决一类问题，提升空间想象能力，推理论证能力和运算求解能能力。

课后巩固练习1：

例1变式：棱PA上是否存在点E，使得平面PCD丄平面BCE，若存在，试确定点E的位置，若不存在，请说明理由. 例2：

（13年河北衡水二模理科19题）

ABCD如图，在底面为直角梯形的四棱锥P中A，PD∥BC，ABC90°D

平BCD，AC4．

面AB3，BD1，A（Ⅰ）求证：BDPC；

（Ⅱ）求直线AB与平面PDC所成的角；

（Ⅲ）设点E在棱PC上，PEPC ,若DE∥平面PAB，求的值.

教师：昨天我们已经把题目发到大家手上，根据例1的解题经验，大家再完善一下自己的解题过程。有谁敢到黑板上来写？（给学生时间）

学生4：我来。（过程略）

教师：大家跟黑板上的解答对照一下，看看还有什么疑问吗？

学生群体：没有。

教师：好，说明大家已经领悟了用向量法解立体几何问题的精髓。

【设计意图】：

完善例1中未涉及的平行问题，直线与平面所成角的问题，同时检验学生对例1讲解过程的领悟能力，有利于培养学生综合运用知识解决问题的能力，，化归与转化能力。进一步提升空间想象能力，推理论证能力和运算求解能能力。

课堂练习：

1．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面

AA1C1C⊥底面ABC，AA1A1C＝AC

＝2，AB＝BC，且AB⊥BC，O为AC中点．

(1)证明：A1O⊥平面ABC； (2)求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值．

2.

如图，棱柱ABCDABCD的所

1111有棱长都等于2，∠ABC＝60°，

平面AA1C1C⊥面ABCD，∠A1AC

＝60°. (1)证明：BD⊥AA1；

(2)求二面角D－A1A－C的平面角的余弦值；

(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1G？若存在，求出P的位置，若不存在，说明理由．

课堂小结：

教师：大家回顾一下通过这节课的复习，我么收获了什么？

学生：通过这节课的复习我们明白了很多立体几何问题可以通过建立空间坐标系，将几何元素间的关系数量化，进而利用向量的方法，通过计算解决。空间向量在解决有关平行与垂直关系的探究，直线与直线，直线与平面的成角以及二面角的计算问题上具有一定的优势，而且其具体步骤为：

⑴建系，求出点的坐标，建立立体图形与空间向量的联系，用空间几何问题转化为向量问题

⑵通过向量运算，研究点，直线，平面之间的位置关系以及他们之间距离和夹角等问题

⑶把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义

教师：非常好，我么也可以把以上过程进一步细化为：

第一步

理清题意：利用条件分析问题，建立恰当的空间直角坐标系. 第二步

确定相关点的坐标：结合建系过程与图形，准确地写出相关点的坐标. 第三步

确立平面的法向量：利用点的坐标求出相关直线的方向向量和平面的法向量，若已知某直线垂直某平面，可直接取直线的一个方向向量为该平面的法向量. 第四步

转化为向量运算：将空间位置关系转化为向量关系，空间角转化为向量的夹角问题去论证，求解.

第五步

问题还原：结合条件与图形，作出结论(注意角的范围). 第六步

反思回顾：回顾检查建系过程、坐标是否有错及是否忽视了所求角的范围而写错结论.

板书设计：

立体几何中的向量方法

一．幻灯片展示知识归纳整合

二．幻灯片展示生活中的立体几何图片

三．例题展示

四．课堂小结，用向量解立体几何问题的基本步骤

课后巩固练习2： 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1面ABC，

多媒体展示区域

例1 例1变式

例2

BCAC,BCAC2，AA13，D为AC的中点。

(I)求证：AB1//面BDC1；

(Ⅱ)求二面角C1BDC的余弦值

课后巩固练习3：

如图，多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，正方形ADEF的边长为2，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝2，CD＝4.

（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；

（Ⅱ）试在平面CDE上确定点P，使点P到直线DC、DE的距离相等，且AP与平面BEF所成的角等于30°.