1.3.3 非（not）教学实录及点评

1．3

简单的逻辑联结词-----非(not) 教学目标

1.了解逻辑联结词

“非”的含义，会判断含有这类逻辑联结词的命题的真假．

2．结合具体实例，在了解

“非”含义的基础上，掌握这类联结词的用法．

3．在结合实例学习逻辑联结词的过程中，体会用逻辑语言表达数学内容的准确性和简洁性．

知识点

一、用逻辑联结词构造新命题

1.分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“¬p”形式的命题：

(1)p：π是无理数；q：e不是无理数；

(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根；q：方程x2＋2x＋1＝0的两根的绝对值相等；

(3)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．

解：(1)“p∨q”：π是无理数或e不是无理数；“p∧q”：π是无理数且e不是无理数；“¬p”：π不是无理数．

(2)“p∨q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；“p∧q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；“¬p”：方程x2＋2x＋1＝0没有两个相等的实数根．

(3)“p∨q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；“p∧q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；“¬p”：三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和．

2.在一次模拟打靶的游戏中，小明连续射击了两次，设命题p1“第一次射击击中靶心”，命题p2“第二次射击击中靶心”，试用p1，p2及联结词“或”“且”“非”表示下列命题：

(1)两次都击中靶心；

(2)两次都没击中靶心；

(3)恰有一次击中靶心；

(4)至少有一次击中靶心．

解：(1)两次都击中靶心是p1且p2；

(2)两次都没击中靶心是¬p1且¬p2；

(3)恰有一次击中靶心是p1且¬p2，或p2且¬p1；

(4)至少有一次击中靶心是p1或p2. 二、含逻辑联结词的命题的真假判断

1.分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“¬p”形式的命题的真假．

(1)p：梯形有一组对边平行；q：梯形有一组对边相等．

(2)p：1是方程x2－4x＋3＝0的根；q：3是方程x2－4x＋3＝0的根．

(3)p：不等式x2－2x＋1＞0的解集为R；q：不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅. 解：(1)因为命题p为真命题，命题q为假命题，

所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，¬p为假命题．

(2)因为命题p，q均为真命题，

所以p∧q为真命题，p∨q为真命题，¬p为假命题．

(3)因为命题p中x2－2x＋1＞0的解集为{x|x∈R且x≠1}，所以命题p为假命题，

又因为当x＝1时，不等式x2－2x＋2≤1成立，

所以命题q为假命题．

所以p∧q为假命题，p∨q为假命题，¬p为真命题．

2.分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“¬p”形式的命题，并判断其真假．

(1)p：3是9的约数，q：3是18的约数．

(2)p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相垂直．

解：(1)p∨q：3是9的约数或是18的约数，此命题为真命题．

p∧q：3是9的约数且是18的约数，此命题为真命题．

¬p：3不是9的约数，此命题为假命题．

(2)p∨q：矩形的对角线相等或互相垂直，此命题为真命题．

p∧q：矩形的对角线相等且互相垂直，此命题为假命题．

¬p：矩形的对角线不相等，此命题为假命题．

三、利用含逻辑联结词的命题的真假求参数的取值范围

1.已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根，若“p∨q”为真命题，且“p∧q”是假命题，求实数m的取值范围．

2Δ＝m－4＞02解：p：方程x＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根⇔⇔m＞2.

－m＜0q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根

⇔Δ＝16(m－2)2－16＜0⇔1＜m＜3.

所以¬p：m≤2，¬q：m≤1或m≥3.

因为“p∨q”为真命题，且“p∧q”是假命题，

所以p为真且q为假，或p为假且q为真．

(1)当p为真且q为假时，

即p为真且¬q为真，

m＞2所以，

m≤1或m≥3解得m≥3；

(2)当p为假且q为真时，

即¬p为真且q为真，

m≤2所以，

1＜m＜3解得1＜m≤2.

综上所述，实数m的取值范围是(1，2]∪[3，＋∞)．

[变式] 若本题条件变为：(¬p)∨(¬q)为假命题，其他条件不变，求实数m的取值范围．

解：由本题解析可知p：m＞2，q：1＜m＜3，

若“(¬p)∨(¬q)”为假命题，

即p∧q为真命题，

m＞2所以，

1

所以实数m的取值范围是(2，3)．

2.已知命题p：|m＋1|≤2成立，命题q：方程x2－2mx＋1＝0有实数根，若¬p为假命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

解：由|m＋1|≤2得－3≤m≤1，

即命题p：－3≤m≤1.

由方程x2－2mx＋1＝0有实数根，得Δ＝(－2m)2－4≥0，

即m≥1或m≤－1，

即命题q：m≥1或m≤－1.

因为¬p为假命题，p∧q为假命题，

所以p为真命题，q为假命题，¬q为真命题，¬q：－1＜m＜1，

－3≤m≤1，由得－1＜m＜1.

－1＜m＜1所以m的取值范围是(－1，1)．