3.1.3 导数的几何意义课堂实录

3.1.3导数的几何意义

教学目标：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知道导数的概念并会运用概念求导数.

教学重难点：函数切线的概念，切线的斜率，导数的几何意义

教学过程：

情景导入：如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角.

y请问：是割线PQ的什么?

x

合作探究：探究任务：导数的几何意义

问题1：当点Pn(xn,f(xn))(n1,2,3,4)，沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时，割线的变化趋是什么？

新知：当割线PPn无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线C在点P

处的切线

割线的斜率是：kn

当点Pn无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率. 因此，函数f(x)在xx0处的导数就是切线PT的斜率k，即klim新知：

函数yf(x)在x0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在P(x0,f(x0))处切线的斜率.

即k=f(x0)lim精讲精练：

2yf(x)x1在点P(1,2)处的切线方程. 例1：(1)求曲线2y3x(2)求函数在点(1,3)处的导数. x0f(x0x)f(x0)f(x0)

xx0f(xx)f(x0)

x[(1x)21](121)2xx2y|x1limlim2x0x0xx解: (1)

所以,所求切线的斜率为2

因此,所求的切线方程为y22(x1)即2xy0

3x23123(x212)y|x1limlimlim3(x1)6x1x1x1x1x1(2)因为

所以,所求切线的斜率为6, 因此,所求的切线方程为y36(x1)即6xy30

2h(x)4.9x6.5x10, 例2 ：如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数根据图象,请描述、比较曲线h(t)在t0、t1、t2附近的变化情况.

解: 我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线,

刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况. (1)

当tt0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴, tt0附近曲线比较平坦,几乎没有升降. 所以,在(2)当tt1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h(t1)0, tt1附近曲线下降, 所以,在2h(x)4.9x6.5x10在tt1附近单调递减. 即函数(3)当tt2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h(t2)0, tt2附近曲线下降, 所以,在2h(x)4.9x6.5x10在tt2附近单调递减．

即函数从图3.1-3可以看出,直线1的倾斜程度小于直线2的倾斜程度, 这说明曲线在1附近比在lltt2附近下降的缓慢. 例3：如图,它表示人体血管中药物浓度cf(t)(单位:mg/mL)随时间t(单位:min)变化的图象.根据图象,估计t0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).

解: 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度f(t)在此时刻的导数, 从图象上看,它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率.

如图,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率, 可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值. 作t0.8处的切线,并在切线上去两点,如(0.7,0.91),(1.0,0.48), k则它的斜率为0.480.911.41.00.7,所以f(0.8)1.4

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:

有效训练

练1：求曲线y=+2x在x=1处切线的斜率，并求该切线的切线方程．

解：函数的导数f′（x）=﹣+2，

在x=1处切线的切线斜率k=f′（1）=﹣1+2=1，

f（1）=1+2=3，即切点坐标为（1，3），

则对应的切线方程为y﹣3=x﹣1，

即y=x+2．

练2：求函数y=（2x﹣1）在x=3处的导数．

解：函数y=（2x﹣1）=4x﹣4x+1，

y′=8x﹣4．

y′=8×3﹣4=20．

222故答案为：20．

反思总结

函数yf(x)在x0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在P(x0,f(x0))处切线的斜率.

即k=f(x0)lim板书设计

作业布置

x0f(xx)f(x0)

x