3.1.1 变化率问题优秀教案板书设计

第一章

导数及其应用

第一课时：变化率问题

博罗中学

何宛津

教学目标：

1．理解平均变化率的概念；

2．了解平均变化率的几何意义；

3．会求函数在某点处附近的平均变化率

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；

教学难点：平均变化率的概念．

教学过程：

一．阅读材料

1.

美国康奈尔大学曾经做过一个有名的“青蛙试验”.试验人员把一只健壮的青蛙投入热水锅中，青蛙马上就感到了危险, 拼命一纵便跳出了锅子. 试验人员又把该青蛙投入冷水锅中，然后开始慢慢加热水锅,

刚开始，青蛙自然悠哉游哉，毫无戒备。一段时间以后，锅里水的温度逐渐升高，而青蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险，最后，一只活蹦乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了.

2.

如何用数学来反映山势的平缓与陡峭程度？

二．新课讲授

（一）问题提出

问题

气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 4

气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)r3

3

如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)33V

4分析: r(V)33V，

4⑴

当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)r(0)0.62(dm)

气球的平均膨胀率为r(1)r(0)0.62(dm/L)

10⑵

当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)r(1)0.16(dm)

r(2)r(1)0.16(dm/L)

21可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

气球的平均膨胀率为思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? （二）平均变化率概念: 1．上述问题中的变化率可用式子r(V2)r(V1)

V2V1f(x2)f(x1)表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率. x2x1

2．若设xx2x1, yf(x2)f(x1)

(这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x

代替x2,同样可用yf(x1)代替f(x2)) 3．则平均变化率为f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)y

xx2x1x三.

例题讲解

例1. 已知函数f (x)=x2，分别计算在下列区间上f (x)的平均变化率：

(1) [1, 3]；

(2) [1, 2]；

(3) [1, 1.1] 例2. 求函数y=x2在x0到x0 +△x

之间的平均变化率

例3. 求函数f (x)=x2+1的平均变化率.

变式. 函数f (x)=-x2的平均变化率=(

)

函数f (x)=-x2在-1到0上的平均变化率=(

) 例4.

已知函数f (x)=-x2的图象上的一点A(-1,-1)及临近一点B(0,0),则△y/△x=(

) A. 3

B. 4

C. 1

D. -1

思考: 一次函数y=kx+b平均变化率有什么特点？

思考：观察函数f (x)的图象

平均变化率ff(x2)f(x1)表示什么?

xx2x1y

直线的斜率

y=f(x) f(x2) △y =f(x2)-f(x1) f(x1) x1 △x= x2-x1

x2 x O

练习：

过曲线f (x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求出当Δx=0.1时割线的斜率.

四．回顾总结

1．平均变化率的概念

2．函数在某点处附近的平均变化率

3. 函数的平均变化率的几何意义

五．布置作业

已知函数f (x)=x2, 分别计算f (x)在下列区间上的平均变化率：

(1)

[1，3]；

(2) [1，2]；

(3) [1，1.1]；

(4) [1，1.001] (5)

[0.9，1]；

(6) [0.99，1]；

(7) [0.999，1].