3.3.1 两条直线的交点坐标优质课教案整理

两条直线的交点

教学目标

知识与技能：理解求两条直线交点的方法思想，即解方程组的转化思想，能正确地通过解方程组确定交点坐标，并通过求交点坐标判断两条直线的位置关系。

过程与方法：通过沟通方程组的解的情况与相应两条直线的交点个数（位置关系）情况，进一步渗透数形结合、坐标法思想。通过学生动手画图，了解过定点的直线系方程。

情感态度价值观：通过探究过定点直线系的方程，培养运用转化思想。

教学重点：对转化思想的理解：求两条直线交点即解方程组确定交点坐标。

教学难点：过定点直线系的定顶点求法，对含字母参数解的讨论。

Ⅰ、引入

如图，王村A（1，-2）与李村B（3，2）位于一条河（X轴）的两侧，现在要在河的岸边修建一处供水站C向王村和李村供水，问此供水站修在什么地方，才能使得所建的管道最短？

上一节，我们在平面直角坐标系中建立了直线的方程，知道直线的方程就是直线上每一点的坐标满足的一个关系式，即一个二元一次方程。这一节课，我们将通过直线方程，用代数的方法求两条直

线的交点，以及判断两条直线的位置关系。

Ⅱ、讲授新课

问题：求下列两条直线的交点的坐标

l1:3x4y20

l2:2x+y+2=0

解：解方程组

3x+4y-2=0x=-2

得

2x+y+2=0y=2l1和l2的交点是M(-2,2)

思考：已知两条直线

l1:A1xB1yC10相交，如何求出这两条直线的交点的坐标？

l2:A2xB2yC20

填表

几何元素及关系

点A 直线l

点A在直线l上

直线l1和l2的交点是A 代数表示

A（a,b）

l：AxByC0

AaBbC0

点A的坐标是方程组

A1xB1yC10的解

A2xB2yC20

一般地，将两条直线的方程联立，得方程组

A1xB1yC10

A2xB2yC20若方程组有唯一解，则两条直线相交，这个解就是交点的坐标；

若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行。

Ⅲ、讲解例题

例1、

判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标。

（1）l1:xy0

l2:3x3y100

(2) l1:3xy40

l2:6x2y1

0

0(3) l1:3x4y50

l2:6x8y10解：（1）解方程组

5xxy03

得

53x3y100y355l1和l2相交，交点是M（，）

33

（2）解方程组

3xy406x2y10（1）

（2）①*2-②得 9=0 矛盾

方程组无解，即l1和l2无公共点，l1l2

（3）解方程组

3x4y506x8y100（1）

（2）①*2得

6x8y100

因此①和②可以化为同一个方程。即l1和l2重合

小结：求两条直线的交点的坐标，就是将这两条直线的方程联立，得方程组

A1xB1yC10

A2xB2yC20若方程组有唯一解，则两条直线相交，这个解就是交点的坐标；

若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；

若方程组有无数解，则两条直线重合。

例2、

求证：直线l:(A1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2)=0必经过

直线l1：A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0

的交点（A1、B1和A2、B2不同时为零）

证明：设l1,l2的交点为P（x0,y0）,则有

A1x0+B1y0+C1=0 A2x0+B2y0+C2=0

把P（x0,y0）的坐标代入l方程的左边，得

（A1x0+B1y0+C1）+（A2x0+B2y0+C2）=0+0=0

P点的坐标满足l的方程。

即直线l经过l1和l2的交点。

例3、

求证：无论m取何实数，直线（2m-1）x-(m+3)y-(m-11)=0 恒过定点，并求出此定点的坐标。

证明：将已知直线化为2mx-x-my-3y-m+11=0 即(-x-3y+11)+m(2x-y-1)=0 它表示过两直线 x+3y-11=0和2x-y-1=0的交点的直线系。

解方程组-x-3y+11=0x2 得

2x-y-1=0y3 原直线恒过定点（2，3）

例4、

求经过点（2，3），且经过以下两条直线的校点的直线方程。

l1:x+3y-4=0 l2:5x+2y+6=0

解（一）：解方程组

x+3y-4=0 x2 得

5x+2y+6=0y2 l1和l2的交点是（-2，2）

由两点式得所求直线的方程 即x4y100

解（二）x3y4(5x2y6)0

y-2x2

2-322点(2,3)在直线上

7

227(5x2y6)0

22（52+23+6）=0

2+33-4+



所求的直线的方程为x3y4

即x4y100

反思：求两条直线的校点就是解方程组，如果方程组有一解，两条直线相交；有无数解，两条直线重合；无解，两条直线平行。

解二中的方程x3y4(5x2y6)0，无论取什么值，它表示的直线都过

x+3y-4=0和5x+2y+6=0的交点。

探究：当变化时，方程xy(xy2)0

表示什么图形？图形有什么特点？

设置问题：1、观察这个方程有什么特点，把它整理一下，会发现什么？

(1)x(1)y20 是一个二元一次方程。

2、那二元一次方程表示什么图形呢？

一条直线

3、我们接下来要来研究它的图形有什么特点。

取0,1,1.去试试看

如下图，三条直线相交于一点（1，1）

y 1 （1，1）

0 1 x

4、我们把（1，1）点代入原方程，会有什么结果呢？

xy0,xy20.

000

不管怎么变，点（1，1）都在直线上。

即方程xy(xy2)0经过定点（1，1）

5、这个点（1，1）有什么特殊吗？

两条直线xy0,xy20.的交点。

6、那我们能得到什么结论呢？

方程xy(xy2)0是表示经过直线

l1:xy0和l2:xy20的交点的直线系。

注意：方程xy(xy2)0不包括l2:xy20。（两条直线重合对应系数成比例）

小结：求两条直线的交点就是解方程组，如果方程组有一解，两条直线相交；有无数解，两条直线重合；无解，两条直线平行。

解二中的方程x3y4(5x2y6)0，无论取什么值，它表示的直线都过

x+3y-4=0和5x+2y+6=0的交点。