3.1直线的倾斜角与斜率（通用）第二课时教学设计

直线的倾斜角与斜率

宁夏银川九中 王占军 教学内容：

人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修2第三章《直线与方程》第一节“直线的倾斜角与斜率”第一课时。

教学目标：

（1）

在平面直角坐标系中，能用语言描述直线的确定位置。

（2）

理解直线倾斜角、斜率的概念、掌握过两点的直线斜率的计算公式。

（3） 初步感受“坐标法”的基本思想，能说出“运用坐标法”解决几何问题的基本步骤和方法。

教学重点：

理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点直线的斜率公式。

教学难点：

经历几何问题代数化的过程，能从“数”和“形”两个角度理解直线的倾斜角和斜率，掌握过两点直线的斜率公式。

教学过程设计：

一、情景引入，激发兴趣。

【提出问题】：

(1)

在屏幕右边A点处暗藏有一宝藏的开关，你能描述A点的确定位置吗？(出示图1) (2)

用什么方法描述A点，才能确定它的准确位置？(学生回答后出示图2) 图1 图2 【过渡：借助坐标系，用坐标可以描述一个点的准确位置。其实，这种方法早在十七世纪就有两位大数学家研究过，请看屏幕。】

读一读：笛卡儿（1596～1650）费马（1601～1655）17世纪法国数学家笛卡儿和费马合作创立了解析几何，通俗的讲，解析几何就是用代数求解的方法分析几何问题。坐标法是解析几何中最基本的研究方法，它是以坐标系为桥梁，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法。几何问题湖北省宜昌市葛洲坝中学坐标系代数问题

【教师引言：坐标法的核心是借助坐标系，将几何问题转化为代数问题。以点为例，点的几何特征——位置，可以用代数的形式——坐标来表示，那么直线又该如何表示呢？今天我们就运用“坐标法”的基本方法研究直线。研究

1

的方法是先探索确定直线的几何要素是什么？再研究这些几何要素用代数方法怎样表示？】

板书： 坐标法：

几何问题 代数问题 （二）、探究新知，揭示概念

活动一：探究直线的倾斜角。

【过渡】：如图，对于平面直角坐标系中的一条直线L,它的位置由哪些条件确定？ 图3 【思考1】：

（1）如图，在直角坐标系中，过点P可以作无数条直线，这些直线的区别在哪里？

（2）在平面直角坐标系中，直线的倾斜程度不同，怎样描述直线的倾斜程度呢？

（教师用几何画板动态演示，学生观察、讨论，得出结论：用倾斜角可以描述直线的倾斜程度。）

【课堂预设：受思维定势的影响，学生可能会想到用x轴与直线所成的锐角角表示直线的“倾斜程度”，此时，教师可以通过画图引导学生理解：过一点与x轴成锐角的直线有两条。】

（3）你能说出直线倾斜角的定义吗？

（教师根据学生回答，辨析、补充并板书定义。）

（4）倾斜角的范围是什么？

（学生讨论发言后，教师用几何画板演示，并作解释性说明：当直线和x轴平行或重合时，为了便于计算，规定直oo线的倾斜角为0o 。故倾斜角的范围是0180

）

【练习1】：画出下图直线的倾斜角

。

2

（教师提出问题：倾斜程度相同的直线，倾斜角一定相等吗? 倾斜程度不同的直线，倾斜角一定不相等吗？由此你认为直线的倾斜程度与倾斜角是一一对应的吗？）

【练习2】：画一条倾斜角是45的直线。 【练习3】：

（1）如图，已知A（0，3）B（3，3）C（-2，-2）分

别求出直线OA、OB、OC的倾斜角。 （2）你能通过描述，使别人清楚直线OA、OB、OC的确定位置吗？由此，你认为确定直线位置的几何要素是什么? 活动二：探究直线的斜率。

【过渡：在生活中，还能用怎样的量描述直线的倾斜程度呢？说一说你的想法。

（教师此时引导学生充分讨论、交流，如果学生能说出用角的正切值表示角的倾斜程度，给予鼓励，并追问：“生活中有这样的实例吗？”，如果学生不能说出，则提出下面问题】：

【思考2】：

(1)、汽车在下面的三个坡上前进，哪一个坡更容易上，为什么？

0

(2)、

初中学过的“坡度（比）”是什么含义？它能否表示倾斜程度？

它与倾斜角α有何关系？

（教师引导学生回忆，总结） 升高量前进量（即为坡角的正切值）

坡度（比）（3）、由此，你认为可以用什么量描述直线的倾斜程度？

（教师总结：我们把直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，并板书：）

直线的倾斜角a 直线的斜率k

k=tan a

【练习4】：已知O（0，0）、A（2，2）、B（-2，-2）、C（4，4）、D（2，1），分

别求出直线OA、OB、CD的斜率，并描述这些直线的确定位置。

【思考3】：

（1）倾斜角是90直线没有斜率，除此之外，倾斜角相同的直线，斜率相同吗？倾斜角不相等的直线，斜率相同吗？由此你认为直线的倾斜角与斜率是一一对应的吗？

（2）倾斜角和斜率都能描述直线的倾斜程度，它们的区别是什么？

活动三：探究过两点的直线的斜率公式。

【过渡：根据倾斜角与斜率的关系，可以求出直线的斜率，根据直线上两点的坐标，能求出直线的斜率吗？以OC为例，试一试。】

【思考4】：

（1）、在坐标平面内，已知直线上任意两点P1（x1,y1),P2(x2,y2)（其中 x1≠x2）,如何用两点的坐标表示直线P1P2的斜率呢？学生完成“小组合作学习任务单”。

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小组合作学习任务单

（教师巡视，然后引导学生交流得出过两点 P1（x1,y1),P2(x2,y2)（其中 x1≠x2）的直线斜率公式。教师要提前预设，若学生交流有困难，教师可出示推导过程，或板书推导，给学生示例。）

y2y10k(x1x2)得出结论： （注：倾斜角是90的直线没有斜率。）

x2x1

（2）运用上述公式计算直线斜率时，与 P1（x1,y1),P2(x2,y2)两点坐标的顺序有关吗？

（三）、例题解析，加深理解。

【例1】已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角？

【例2】在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，和2的直线。

(四) 知识应用。

1、已知四边形ABCD的四个顶点是A（2,3），B（1，-1），C（-1，-2），D（-2,2),求四边形ABCD的四条边所在直线的斜率。

2. 根据下列描述，在平面直角坐标系中画出直线。

(1).过点A（1,1）、B(2,2)的直线。

(2).过点A（1,1），且倾斜角是45的直线。

(3).过点A（1,1），且斜率是1的直线。

3.经过点P(0,-1)的直线l与连接A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,找出直线l的倾斜角α与斜率k的取值范围.

0成员人数： 4人

合作任务： 4人按编号依次选择下面相应图形，先在直线上任取两点

P1（x1,y1),P2(x2,y2)（其中

x1≠x2），然后求直线的斜率k，并交流自己是怎样想的。

（四）、课堂小结：

1、在平面直角坐标系中，怎样描述直线的倾斜程度？

2、直线倾斜角、斜率、过两点的直线斜率公式分别是什么？三者之间有怎样的联系与区别？

3、运用“坐标法”解决几何问题的基本方法是什么？

（五）、作业布置：教材P86页练习1.2.3

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