3.3.4 两条平行直线间的距离第一课时教学实录

3.3.2 两点间的距离（一）教学目标1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。2．过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。；3．情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。（二）教学重点、难点重点，两点间距离公式的推导；难点，应用两点间距离公式证明几何问题。（三）教学方法启发引导式教学环节

教学内容

复习数轴上两点的距离公式. 师生互动

设计意图

复习引入

设问一：同学们能否用以前所学知设置情境识解决以下问题：导入新课

已知两点P1 (x1，y1)，P2

(x2，y2)求|P1P2| 过P1、P2分别向x轴和y轴作垂在教学过程中，可以提出线，垂足分别为N1

(0，y)，M2

(x2，问题让学生自己思考，教师提0)直线P1N1与P2M2相交于点Q.示，根据勾股定理，不难得到. 在直角△ABC中，|P1P2|2 = |P1Q|2

+ |QP2|2，为了计算其长度，过点P1概念向x轴作垂线，垂足为M1 (x1，0)过点形成

P2向y轴作垂线，垂足为N2 (0，y2)，于是有|P1Q|2 = |M2M1|2 = |x2

–

x1|2，|QP2|2 = |N1N2|2 = |y2 –

y1|2.由此得到两点间的距离公式通过提问思考教师引导，使学生体会两点间距离公式形成的过程. |P(x2x1)2(y2y1)2

1P2|例1 已知点A

(–1，2)，B(2,7)在x轴上求一点，使|PA| = |PB|，并求|PA|的值.解：设所求点P (x，0)，于是有教师讲解思路，学生上台板书.教师提问：还有其它的解法，由学生思考，再讨论提出解法二：由已知得，线段AB127)，直线(x1)2(02)2(x2)2(07)2的中点为M(,应用22举例

∴x2 + 2x + 5 = x2

– 4x + 11AB的斜率为

通过例题讲解，使学生掌握两点间的距离公式及其应用. 解得x = 1∴所求点P (1，0)且k722731(x)|PA|32227723|PA|(11)2(02)222(12)2(02)222同步练习，书本112页第1、2题. 线段AB的垂直平分线的方程是1

y2731(x)2227在上述式子中，令y = 0，解得x = 1.所以所求点P的坐标为(1，0).因此|PA|(12)2(02)222

例2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系.证明：如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0).设B (a，0)，D (b，c)，由平行四边形的性质的点C的坐标为(a + b，c)，因为|AB|2 = a2，|CD|2 = a2，|AD|2 = b2 + c2 = |BC|2|AC|2 = (a + b)2 + c2，

|BD|2 = (b

–

a)2 + c2

所以，|AB|2 + |CD|2 + |AD|2 + |BC|2 =

2 (a2 + b2 + c2) |AC|2

– |BD|2 = 2(a2 + b2 + c2)所以，

|AB|2 + |CD|2 + |AD|2 + |BC|2 = |AC|2 + |BD|2

因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 此题让学生讨论解决，再由学生归纳出解决上述问题的基本步骤：

第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量. 第二步：进行有关代数运算. 第三步：把代数结果“翻译”成几何关系. 思考：同学们是否还有其它的解决办法？

还可用综合几何的方法证明这道题. 让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤. 主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法归纳解决几何问题，建立直角坐标系的重总结

要性. 课后作业

布置作业

见习案3.3的第二课时. 师生共同总结

让学生更进一步体会知识形成过程

巩固深化

由学生独立完成

备选例题

例1

已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标

【解析】设点P的坐标为

(x，0)，由|PA| = 10，得：

(x3)2(06)210

解得：x = 11或x = –5. 所以点P的坐标为(–5，0)或(11，0). 例2

在直线l：3x

–

y

– 1 = 0上求一点P，使得：

（1）P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；

2

（2）P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小. 【解析】（1）如图，B关于l的对称点B′(3，3). AB′：2x + y

– 9 = 0 由2xy90x2

解得P(2，5). 3xy10y5（2）C关于l对称点C(,324)

55由图象可知：|PA| + |PC|≥|AC′| 当P是AC′与l的交点P(∴P(1126,). 771126,)时“=”成立，

77例3

如图，一束光线经过P (2，1)射到直线l：x + y + 1 = Q (0，2)求：（1）入射光线所在直线的方程；

（2）沿这条长度. 【解析】（1）设点Q′(a，b)是Q关于直线l的对称点

因为QQ′⊥l，k1 = –1，所以kQQ1,b21

a00，反射后穿过点光线从P到Q的又因为Q′Q的中点在直线l上，所以a0b210

22b21a3a0所以得，所以Q′(–3，–1) b1ab21022因为Q′在入射光线所在直线l1上，设其斜率为k，

所以k1(1)2

2(3)525l1：y1(x2)即2x

– 5y + 1 = 0 （2）设PQ′与l的交点M，由（1）知|QM| = |Q′M| 所以|PM| + |MQ| = |PM| + |MQ′| = |PQ′| = 所以沿这光线从P到Q的长度为29. 入射光所在直线方程为2x

– 5y + 1 = 0. 29

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