小结课堂实录【2】

椭圆一轮复习教学设计

一 教学目标

1、知识与能力：能熟练应用椭圆的定义；能根据已知条件准确得求出椭圆的标准方程；能求出椭圆的离心率. 2、过程与方法：理解数形结合的思想，并能用数形结合的思想结合椭圆的有关性质，解决椭圆的简单应用问题。

3、情感、态度与价值观：通过合作探究，体会数学学习的乐趣；通过对椭圆的定义、几何性质的探索，逐步形成认真分析、善于总结的思维习惯。

二、教学重点与难点

教学重点：1、掌握椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单的几何性质。

2、了解椭圆的简单应用。

教学难点：椭圆的定义和简单几何性质的应用，理解数形结合的思想。

三、教学方法

实际训练为主，引导学生独立思考，合作探究相结合

四

教学内容

预学案

一、自主梳理

构建知识网络

自主探究：

22C是圆F1上的动点，（1）已知圆心为F1的圆的方程为(x2)y32,F2(2,0),于M，求动点M

的轨迹方程；

F2C的垂直平分线交FC122M的轨迹方程 （2）如果将上题中F1的圆的方程改为x(y2)32，F2(0,2),则呢？

（3）你能否分别写出此轨迹的长半轴长a

，短半轴长b

，半焦距c

，离心率e

，和顶点坐标.a,b,c

之间的关系式？

M满足关系式MF1MC=42,而M又在解：由题M始终在圆F1的半径上，所以M所以有MCMF2 ,结合上式可得MFF2C的垂直平分线上，1MF242F1F2,即到两个定点F1,F2

的距离之和为定值，所以M

的轨迹是以F1,F2为焦点，2a =42的椭x2y21

；

圆，所以c2

，bac2224

，所以该椭圆方程为84y2x21

；

（2）点M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆84c22（3）e . a222(参考课本选修1-1，42页习题2.1A组第7题) 22222

此探究由学生课前完成，课堂展示自己的结果即可.而学生通过完成此探究对椭圆的定义及其标准方程，几何意义进行了系统又有效的复习. 考点自测

x2y21

的右焦点F2做垂直于x轴的直线AB,交椭圆于A,B两1.已知经过椭圆2516点，F1

是椭圆的左焦点. （1）求△AF1B的周长；

20

（2）如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长有变化么？为什么？

x2y232.(2014·大纲全国卷)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，ab3过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为

(

A

) x2y2x22x2y2x2y2A.＋＝1

B.＋y＝1

C.＋＝1

D.＋＝1 323128124

常用结论：椭圆中过其中一个焦点的弦的两个端点与另一焦点所成的三角形的周长4a

。

3.已知定点A(2,0),B(2,0),

且动点M满足|MA||MB|4,则点M的轨迹是（D）

A.直线

B.椭圆

C.双曲线

D.线段

易错点：椭圆定义中的常数2a必须满足什么条件？

2a|F1F2|

x2y24．已知曲线＋＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是(

B

) k＋13－kA．(－∞，1)∪(3，＋∞)

B．(1,3) C．(1，＋∞)

D．(－∞，3) 常用结论：焦点位置看

分母，谁的分母大焦点在谁上边

. 5.椭圆C的焦点在x

轴上，一个顶点坐标是（2，0），过焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆的离心率为 （ D ）

A 11423 B C D 2422b2b2常用结论：过椭圆的右焦点且与长轴垂直的弦上端点A的坐标(c,)，|AB| =2。

aa导学案

要点训练，知识再现

考点一

椭圆的定义及其标准方程

【例1】（1）已知椭圆C的焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），且椭圆过点53M(,)

.求椭圆C的标准方程; 22（2）求焦点在坐标轴上，且经过A(3,2),B(23,1)

的两点的椭圆的标准方程; x2y2（3）已知椭圆C的方程为221(ab0)，左，右焦点分别为F1、F2,ab焦距为4，点M是椭圆C上一点，满足∠F1MF2600 ,且S△FMF1223.求椭圆C的方程.

解：（1） . 由题椭圆焦点坐标F1(2,0),F2(2,0)

得焦点在x轴上,所以设椭圆的标准方程x2y2为221(ab0)由椭圆的定义知

ab53532222所以2a

MF1MF2

(2)(0)(2)(0) 2222= 210，

所以a10,

b2a2c21046

所以椭圆的标准方程为x2y21 .

）

106

（2）设椭圆的方程为mx2ny21(m0,n0)，则由题

3m4n111x2y2,n

，所以椭圆的标准方程为1

解得m{15512mn11558（3）S△FMF1223得|PF1|·|PF2|

由余弦定理

(PF1＋PF2)2－2PF1PF2(2c)2PF12PF22F1F22cos60



2PF1PF2PF1PF20(2a)2－28(2c)2 

而2c4 28x2y21 解得a10,

所以b6

，所以椭圆的标准方程为106【规律方法】

（1）求椭圆标准方程时可根据题中条件结合a,b,c的几何意义，将a,b,c求出即可；

(2) 用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，在定量”，判断焦点在x轴还是y轴上，22设出相应的方程.不能确定焦点位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2ny21(m0,n0).“定量”就是指利用定义和已知条件确定方程中的系数a，b

或，m，n

的值. (3)利用面积可求得|PF1|·|PF2|，再结合椭圆的定义及余弦定理及|PF1|＋|PF2|＝(|PF1|＋|PF2|)－2|PF1|·|PF2|=(2a)2－2|PF1|·|PF2|进行转化，可得a与c的关系式. 此环节由学生独立思考，然后到黑板板书下自己的解题过程，教师适当的点拨，并启发学生找到简单的解决此类问题的方法.进而体会出一些求椭圆标准方程的一般方法. 222考点二

椭圆的几何性质

合作探究

x2y2【例2】

（2013年辽宁）(1)已知椭圆C：221(ab0)的左焦点为F,C与ab过原点的直线相交于A，B两点，连接AF,BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝4，则C的离心率e＝ . 50解：由余弦定理在△ABF

中可得|AF|6,所以∠AFB =90 ,所以cFO 5,由椭圆及直线关于原点对称可知|BF2|6 ,所以2a|BF||BF2|14

，a7 所以e

c5 . a7x2y2(2)(2014·江西卷)设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂ab线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．

a,c关系式；或AD⊥F1B结合椭圆的此题可从多角度入手，比如ADF1B0

入手得图形特征D为F1B的中点，得△ABF1为等边三角形，

解

连接AF1，∵OD∥AB，O为F1F2的中点，

∴D为BF1的中点．又AD⊥BF1，∴|AF1|＝|AB|. ∴|AF1|＝2|AF2|. 设|AF2|＝n，则|AF1|＝2n，|F1F2|＝3n.

c|F1F2|3n3∴e＝＝＝＝. a|AF1|＋|AF2|3n3总结求椭圆离心率的常用方法：

①根据题中条件，求出a,c

，带入公式ec；

a②若椭圆方程未知，则根据条件及几何图形建立a,b,c,e

满足的关系式，化为关于a,c的齐次方程，解出a,c的关系或化为e的方程求解. 此环节由学生合作探究，教师适当适时的进行点拨，告诉学生解题的切入点，引导学生用不同的方法解决此类问题. 课后探究

x2y2已知椭圆C：221(ab0)的两焦点为F1、F2，如果C上存在一点M使abF1MF2M，求椭圆离心率e的变化范围．

解；法1：由F1MF2M，可联系直线的斜率

设M(x0，y0)(ax0a)，有202y0y2201，即x0y0c2，又M点在椭圆上，x0cx0c2x0a2(c2b2)2222有yb(12)，联立得：x0，由，解得：，又椭e0xa0222aab2圆离心率0e1，故e1．

2法2：由F1MF2M及张角F1MF2大小随点M的变化趋势，可联系运动观念

略解：事实上，动点M由椭圆左顶点沿上半椭圆周运动到右顶点的过程中，当M点位于椭圆短轴端点时，张角最大。因此要使椭圆上存在点M满足F1MF2M，只要F1MF22,则F1MF2FMF22，sin12sin，所以e1. 242422【课堂小结

谈谈收获】

本节课你都收获了什么数学知识与方法？从中体会到什么数学思想呢？

（1）

椭圆的定义的应用，以及求椭圆的标准方程的方法；

（2）

椭圆几何性质的应用，最主要的是求椭圆离心率的问题. 学到了数形结合的数学思想.

固学案

学以致用

直通高考

x221．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的3另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(

) A．23

B．6

C．43

D．12 22xy42．椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为

(

) 94＋k51919A．－21

B．21

C．－或21

D.或21 2525

x2y23．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于(

) 10－mm－2A．4

B．5

C．7

D．8 4．一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为(

) x2y2x2y2A.＋＝1

B.＋＝1 8616622xyx2y2C.＋＝1

D.＋＝1 8416422xy5．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2.43→→若点P是椭圆C上的动点，则F1P·F2A的最大值为(

) 333915A.

B.

C.

D.

22446.若椭圆的短轴为AB

，它的一个焦点为F

，则满足△ABF

为等边三角形的椭圆的离心率是 . x2y27.已知椭圆C：221(ab0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A，Bab4两点，连接AF,BF .若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝5________. 8.在△ABC

中，∠A

=30

,|AB|

=2,△ABC的面积为3

，若以A,B为焦点的椭圆经过点C

，则该椭圆的离心率为

.

0x2y29.椭圆C：221(ab0)的左焦点为F

，若F关于直线3xy0

的ab对称点A

是椭圆C

上的点，则椭圆C的离心率为 . x2y210．(2014·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆2＋2＝1(a>b>0)ab的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C. 41(1)若点C的坐标为3，3，且BF2＝2，求椭圆的方程；

(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．

课后反思

本节课总体来说学生是课堂的主体，由学生体验操作进而得到学习规律与方法.在本节课对学生的引导上，我觉得做的不错，而学生本节课的活动也非常好，能够积极参与课堂，抓住问题的本质，最终解决问题.通过专家点评,本节课的不足之处：1.预学案中应该让学生把椭圆的定义，标准方程及几何意义复习一下；2.在例2（1）的处理中可以再进一步引导学生发现做填空题的技巧.3.对于学生帮我主持课堂上应该更注意个体的发展，照顾到这个学生的学习情况.