1.4.1 全称量词第一课时导学案

1．4全称量词与存在量词

[学习目标]1.理解全称量词、全称命题、存在量词及特称命题的概念(重点)．2.会判断全称命题、特称命题的真假(重点、难点)．3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定(重点、难点)．

一、预习导学，思维互动

1．全称量词和全称命题

(1)全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号∀表示．

(2)全称命题：含有全称量词的命题叫做全称命题，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立．”

2．存在量词和特称命题

(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号∃表示．

(2)特称命题：含有存在量词的命题叫做特称命题．特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0

∈M，p(x0)，读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立．”

3．含有一个量词的命题的否定

特称命题全称命题否定

∀x∈M，p（x）∃x0∈M，綈p（x0）

全称命题特称命题否定

∃x0∈M，p（x0）∀x∈M，綈p（x）温馨提示

全称命题含有全称量词，有些全称命题省略了全称量词，在判断该命题是否为全称命题时要特别注意．

二、思考尝试.夯基

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“对顶角相等”是全称命题．(

) (2)已知命题p：∃n0∈N，2n0＞1 000，则非p：∃n0∈N，2n0≤1 000.(

) (3)命题“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x0∈R，x2．(

) 0＜0”(4)∃x0∈R，使得sin 3x0＝3 sin x0.(

) 解析：(1)是省略了全称量词的一个全称命题，则正确．(2)綈p为∀n∈N，2n≤1 000，则错误．(3)否定是“∃x0∈R，x2，0≤0”则错误．(4)正确，如存在x0＝0，满足sin 3x0＝3 sin x0. 答案：(1)√(2)×(3)×(4)√

2．下列全称命题为真命题的是(

) A．所有的质数是奇数

B．∀x∈R，x2＋1≥1 C．对每一个无理数x，x2也是无理数

D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5

解析：A所有的质数是奇数错误，如2是质数但不是奇数．C中x是无理数，但x2不是无理数，如x＝3.D中所有的能被5整除的整数，其末位数字为5或0. 答案：B 3．下列命题是特称命题的是(

) A．偶函数的图象关于y轴对称

B．正四棱柱都是平行六面体

C．不相交的两条直线是平行直线

D．存在实数大于或等于3 解析：含有存在量词的命题叫作特称命题，故D“存在实数大于或等于3”是特称命题．

答案：D

4．命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋5＜0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为非p：__________________．

答案：特称命题假∀x∈R，x2＋2x＋5≥0

5．若∀x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是______________________．

解析：当f(x)＝(a2－1)x是减函数时，则0＜a2－1＜1.即a∈(1，2)∪(－2，－1)．

答案：(1，2)∪(－2，－1)

三、核心突破.讲练互动

类型1全称命题与特称命题概念的辨析(自主研析)

[典例1]判断下列命题是全称命题还是特称命题：

(1)梯形的对角线相等；

(2)有的函数既是奇函数又是偶函数；

(3)负数的平方是正数；

(4)存在一个四边形有外接圆；

(5)二次函数都存在零点；

(6)过两条平行线有且只有一个平面．

[自主解答]命题(1)省略了“所有的”，完整的表述应为“所有的梯形的对角线相等”，很显然为全称命题；命题(2)为特称命题；命题(3)的意思是“所有的负数的平方都是正数”，故为全称命题；命题(4)为特称命题；

命题(5)是“所有二次函数都存在零点”的简写，为全称命题；命题(6)是“过任意两条平行线有且只有一个平面”的意思，为全称命题．

归纳升华

1．判断命题是全称命题还是特称命题，关键是看命题中含有全称量词还是存在量词．

2．要注意有些全称命题并不含有全称量词，这时要根据命题的意义去判断．

[变式训练]判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题．

(1)自然数的平方大于或等于零；

(2)对每一个无理数x，x2也是无理数；

(3)有的函数既是奇函数又是增函数；

n(4)对于数列n＋1，总存在正整数n0，使得an0与1之差的绝对值小于0.01. 

解：(1)是全称命题，表示为∀x∈N，x2≥0. (2)是全称命题，∀x∈{x|x是无理数}，x2也是无理数．

(3)是特称命题，∃f(x)∈{函数}，f(x)既是奇函数又是增函数．

n0(4)是特称命题，∃n0∈N*，|an0－1|<0.01，其中an0＝. n0＋1类型2全称命题与特称命题的真假判断

[典例❷]判断下列命题的真假

(1)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；

(2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；

(3)存在一个实数x0，使得等式x2＋x＋8＝0成立；

(4)∀x∈R，x2－3x＋2＝0；

(5)∃x0∈R，x20－3x0＋2＝0. 分析：首先理解题意，区分出全称命题和特称命题，再结合相关知识进行判断．

解：(1)是真命题．如函数f(x)＝0，既是偶函数又是奇函数．

(2)是假命题．如边长为1的正方形，对角线的长度为2，2就不能用正有理数表示．

(3)是假命题．方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程x2＋x＋8＝0无实数解．

(4)是假命题．只有当x＝2或x＝1时，等式x2－3x＋2＝0才成立．

(5)是真命题．x0＝2或x0＝1，都使得等式x20－3x0＋2＝0成立．

归纳升华

1．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立

；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可．

2．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题．

[变式训练]已知命题p：∃x0∈R，x0－2＞0，命题q：∀x∈R，x＞x，则下列说法中正确的是(

) A．命题p∨q是假命题

B．命题p∧q是真命题

C．命题p∨(非q)是假命题

D．命题p∧(非q)是真命题

解析：命题p为真命题，如存在x0＝3满足x0－2＞0，命题q为假命题，则p∨q为真命题，p∧q为假命题，由于非q为真命题，则p∨(非q)为真命题，p∧(非q)为真命题．

答案：D 类型3全称命题与特称命题的否定

[典例3]写出下列命题的否定并判断其真假：

(1)p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；

(2)p：每一个非负数的平方都是正数；

(3)p：存在一个三角形，它的内角和不等于180°；

(4)p：有的四边形没有外接圆；

(5)p：某些梯形的对角线互相平分．

解：(1)非p：存在一个末位数字是0或5的整数不能被5整除，假命题．

(2)非p：存在一个非负数的平方不是正数，真命题．

(3)非p：任何三角形，它的内角和等于180°，真命题．

(4)非p：所有的四边形都有外接圆，假命题．

(5)非p：所有梯形的对角线都不互相平分，真命题．

归纳升华

1．含有全称量词的全称命题的否定是将全称量词改为存在量词，并把结论否定；含有存在量词的特称命题的否定是将存在量词改为全称量词，并把结论否定．

2．有些全称(或特称)命题省略了全称(或存在)量词，否定时要先理解其含义，再进行否定．

[变式训练]写出下列命题的否定，并判断其真假．

(1)p：无论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根．

(2)p：存在实数x，使得x2＋x＋1≤0. (3)p：等圆的面积相等，周长相等．

(4)p：与同一平面所成角相等的两条直线平行．

1解：(1)p是全称命题，其否定形式非p：存在实数m0，使得x2＋x－m0＝0没有实数根．当Δ＝1＋4m0<0，即m0<－时，方4程x2＋x－m0＝0没有实数根．所以非p是真命题．

133x＋＋≥>0，所以非p是真命题．

(2)非p：对所有实数x，都有x＋x＋1>0.因为x＋x＋1＝244222(3)非p：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等．由平面几何知识知非p是假命题．

(4)p是全称命题，省略了全称量词“任意”，p可表达为“任意两条与同一平面所成角相等的直线平行”．

非p：存在两条与同一平面所成角相等的直线不平行．非p为真命题. 类型4全称命题与特称命题的应用(互动探究) [典例4]若f(x)＝x2－2x＋5，若∀x∈R，m＋f(x)＞0恒成立，求实数m的取值范围．

解：不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m＞－4即可．

故存在实数m使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立．此时需m＞－4. [迁移探究](变换条件)若∃x0∈R，使m－f(x0)＞0成立，求实数m的取值范围．

解：若存在一个实数x0使不等式m＞f(x0)min.又f(x0)＝(x0－1)2＋4，所以f(x0)min＝4，所以m＞4.

所以所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．

归纳升华

对任意的实数x，a＞f(x)恒成立，只要a＞f(x)max.若存在一个实数x0，使a＞f(x0)成立，只需a＞f(x)min. 课堂小结: 1．对全称命题，应注意以下几点：

(1)全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题．

(2)“所有”“每一个”“一切”“任意(何)”等短语都叫作全称量词，含有这些短语的命题，叫作全称命题．

(3)有些全称命题在文字叙述上省略了全称量词，在判断该命题是否为全称命题时要特别注意．

2．特称命题就是陈述在某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题．

3．含有一个量词的命题与其否定之间的关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．