3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学教案设计

《直线的倾斜角与斜率》

授课人：

衡山县岳云中学

万明

【教材分析】

本节是高中解析几何内容的开始，也是高中解析几何中的重要概念之一。该节是学生学习用坐标法研究图形，研究几何问题的初步知识，这些知识是初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法，本课有着开启全章，为进一步学习圆锥曲线方程、导数等知识打下基础。

【学情分析】

作为教学对象的学生是学习主体，为了突出学生的主体的地位，教师须全面研究学生，理解学生。

①认识结构

经过半年多时间的学习，学生对数学概念及思维方法的认识水平有了较大提高.但不同层次的学生之间仍存在着较大的差距，尤其表现在对知识的探究、联想、迁移能力上.在新课中，运用了生活中的实例，多媒体动画效果，引导学生思维的“上路”，让学生主动参与探究过程。

②情感结构

随着年龄的增大，阅历的丰富，高中学生自主意识的增强，有独立思考问题、发现问题的能力.在学生的探索活动中，主动通过设疑、质疑、提示等启发示手段，帮助他们分析问题，激发学生的学习的兴趣。

【教学目标】

1、探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程。

2、通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。

3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面，刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想。

【重点、难点】

重点：感悟并形成倾斜角与斜率两个概念。

难点：体会数形结合及分类讨论思想在概念形成中的作用。

【教学方法】

本节课主要是教给学生“动手算、动眼看、动脑想、动口说、勤钻研”的研究式学习方法，这样增加了学生自主参与，合作交流的机会，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体，使学生“学”有所“思”，“思”有所“得”，“练”有所“获”，让学生产生一种成就感，激发学生自主学习的兴趣。

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【教学过程】

（一）知识背景与课题引入

今天我们开始学习数学的一个重要分支—解析几何.首先请大家阅读知识背景部分.

1、从本章起,我们研究什么?怎样研究? 解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的,解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑,数学从此由常量数学进入变量数学时期.解析几何由此成为近代数学的基础之一. 在解析几何学中,我们常常用一种方法:坐标法，

研究几何图形的性质。 坐标法是以坐标系为基础, 通过数形结合把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，“以形助数”或“以数解形”，通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，把几何问题转化成代数问题,通过代数运算研究几何图形性质的方法,它是解析几何中最基本的研究方法. 本章首先在平面直角坐标系中,建立直线的方程.然后通过方程,研究直线的交点、点到直线的距离等. 2、课题的引入

下面就让我们踏着前人的足迹去感受解析几何的魅力。我们首先研究最简单的几何对象——直线，学习直线的倾斜角和斜率. （二）新课探究

知识探究（一）

直线的倾斜角

问题一 两点确定一条直线。

过一点有多少条直线? 这些直线有何不同？（学生可能回答倾斜程度不同），如何来刻画这些直线的倾斜程度？（估计不少学生能意识到用角度刻画）

由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式：

（1）已知直线上两点.（2）已知直线上一点和直线的倾斜程度（角度）. 显然这些直线的区别在于直线的倾斜程度不一样。为了表示直线的倾斜程度，我们引入倾斜角这个几何概念。

问题二

既然倾斜程度可以用角度刻画，但角的形成需要两条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必须还有一条形成角的参照的直线.在平面直角坐标系下，该以哪条直线为基准形成刻画倾斜程度的角呢？（学生可能回答x轴或y轴）. 以x轴或y轴为基准都可以，习惯上我们用x轴. 问题三 过点P（2,3）与x轴形成45角的直线有几条？画出相应直线. y

o

L2·45。L1p（学生可能答一条或两条，投影演示结果）如何区分清楚这两条直线呢？估计学生能想到还需要确定方向. 。135x2

问题五 选择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能保证坐标系下的任何一条直线都有唯一的角与它对应呢？

（教师引导学生选取不同的方向来描述角，并区分l1与l2）。

数学概念来刻画事物时，讲求统一美与简洁美，如何用数学语言准确描述这个角呢？（引出概念）

1、倾斜角的定义

在平面直角坐标系中，以x轴为基准：

（1）当直线l与x轴相交时，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角，叫做直线l的倾斜角.

（板书）

练习1：判断下列倾斜角是否正确：(出示幻灯片) 提问：图（4）倾斜角在哪儿？引出与x轴平行或重合时的倾斜角. （2）当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0.（板书）

探究1：直线的倾斜角的取值范围？（用几何画板演示） （板书）直线倾斜角的范围为: 0a180这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一确定的倾斜角与它对应.换句话说，（板书）直线上一点和直线的倾斜角确定一条直线. 倾斜角从“形”的角度刻画了平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度.

知识探究（二）直线的斜率

问题六 （1）生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，对于斜坡的倾斜程度，可以用什么量来反映？（坡角与坡度）（2）初中对坡度是如何定义的？

坡度（比）=

升高量

前进量

（即坡角的正切值）

α

前进

升高

思考：（1）当坡角=0时，升高量、前进量分别是什么？坡度（比）是什么？

（2）当坡角=90时，前进量是什么？坡度（比）又是什么？

我们知道，坡度比是工程技术上的叫法。在数学上,

3 AB叫做什么？（等同学们BC

回答）叫做倾斜角

的正切值，我们把它叫做直线AC的斜率.

坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率。

2、斜率的定义

我们把一条直线的倾斜角的正切值，叫做这条直线的斜率.记作ktan(90)。（板书）

斜率的定义：倾斜角不是90的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.即ktan(90). 我们知道在倾斜角

的取值范围内(0180)，倾斜角（不为90）的大小与倾斜角的正切值是一一对应的，换句话说，倾斜角（不为90）的大小与斜率是一一对应的.进一步得到：（板书）直线上一点和直线的斜率同样能确定一条直线。

实验演示：当为钝角时，直线的斜率如何求？（转化到其补角上，此时，前进量为负数）.（几何画板演示）

y 180(是锐角)

x

ktantan(180)tano 如：倾斜角120，则斜率k3

试一试：（1）倾斜角α=0o，30o，45o，60o，90o时，直线的斜率分别等于多少？

（2）倾斜角α=120o，135o，150o时，直线的斜率分别等于多少？

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探究4：倾斜角的取值范围为0180，当倾斜角变化时，斜率k如何变化？（几何画板演示）

图示

倾斜角

斜率范围

0 090

90 斜率不存在

90180

k=0

k>0

k<0 随增大而增大

斜率增减性

无

随增大而增大

无

（三）合作交流

（1）任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？

（2）任何一条直线都有斜率吗？斜率不同的直线倾斜角一定不同吗？

（3）斜率大的直线其倾斜角也一定大吗？你认为确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么？

（四）

反馈练习

1.下列叙述中不正确的是（ ）. A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 B．每一条直线都惟一对应一个倾斜角

C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0o或90 D．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为tan

2.已知直线的倾斜角，求直线的斜率： ⑴30； ⑵135； ⑶60； ⑷90

3.已知直线的斜率，求其倾斜角. ⑴k0； ⑵k1； ⑶k3； ⑷k不存在.

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4.如图，直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则有( ) A.k1

C

x

AO

B5.如上图，菱形ＯＡＢＣ中，AOC600，求OB、AC所在直线的倾斜角与斜率．

（五）我的收获

课时小结：1、直线倾斜角的定义与取值范围.(任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，范围是

0180).

2、直线斜率的定义.（ktan(90)）.

3.直线倾斜角与斜率两者之间的关系

概念

直线的倾斜角

直线的斜率k

ktan定义

三要素

(90)

取值范围

0180



k,

结束语:直线的倾斜角与斜率，分别从形与数两个方面探究了确定一条直线的几何因素.数形结合是研究解析几何的重要思想，也是我们这节课的灵魂.著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”更精辟地指出“数无形，少直观；形无数，难入微。”可见数形结合的思想非常重要，是解决数学问题的非常强大的思想武器，换句非常时髦的话说，数形结合非——常——给力！

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(六)板书设计

直线的倾斜角与斜率

1、（1）直线倾斜角的定义.

（3）直线斜率的取值范围

（学生展示区）

（2）取值范围: 0180. 2、（1）直线斜率的定义

ktan（90）

（2）倾斜角为为钝角时，

ktantan(180)tan

（七）作业布置

课时提能演练（十七）

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