2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系教学设计和教学实录

空间中的平行与垂直

澄海东里中学

蚁行照 第5周星期四

考纲要求：

1.认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．3.认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．

教学过程

一、体验高考：

1．[2014·辽宁卷改编] 已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，若m⊥α，n⊂α，则m与n的位置关系①为________．

2．[2013·全国课标卷Ⅱ改编] 如图111所示，

直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中点．

则BC1与平面A1CD的位置关系②是________．

图111

3．[2014·江西卷改编] 如图112所示，

4．三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1，

5．则A1C与CC1的位置关系③是________．

图112

4．[2014·福建卷改编] 如图113所示，三棱锥ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD，则CD与平面ABD的位置关系④是________．

图113

1

5．[2014·浙江卷改编]设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则直线m与平面α的位置关系⑤是________．

二、考点讲练：

►

考点一 点、线、面间位置关系的判断

位置关系

——1.判定点在平面内；2.判定两直线异面；

3.平行问题的判定；4.垂直问题的判定

例1设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是(

)

A．若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n

B．若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n

C．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β

[小结] 空间点、线、面位置关系的分析判断的依据是四个公理、平行关系与垂直关系的判定定理和性质定理，处理具体问题时可以构建长方体或三棱锥等模型，把要考查的点、线、面融入模型中，判断会简捷明了．

变式题下列命题为真命题的是(

) A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

►

考点二

线、面平行关系

平行关系——1．判定两直线平行；2．判定线面平行；

3．判定面面平行；4．平行性质的应用

例2

[2014·山东卷改编]

如图114所示，四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，1AB＝BC＝2AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．求证：AP∥平面BEF．

图114

[小结] 要证线面平行，主要有两个途径：一是证已知直线与平面内的某直线平行；二是证过已知直线的平面与已知平面平行．在这里转化思想在平行关系中起着重要的作用，即线线平行、线面平行、面面平行可以相互转化．在寻求平行关系时，利用中位线、平行四边形等知识是非常常见的手段．

2

1变式题

如图115所示，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD∥FE，FE＝2AD，点G为AC的中点．求证：EG∥平面ABF．

图115

►

考点三

线、面垂直关系

垂直关系

——1．线线垂直的判定；2．线面垂直的判定；

3．面面垂直的判定；4．垂直关系性质的应用

例３[2013·北京卷改编] 如图116所示，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：

(1)PA⊥平面ABCD；

(2)平面BEF⊥平面PCD．

图116

3

[小结] 在证明线线垂直时，要注意隐含的垂直关系，如等腰三角形的三线合一、矩形的相邻两边、直径所对的圆周角、菱形的两条对角线、经计算可得的直角三角形等．

变式题

如图117所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知BB1＝2，BA＝π2，BC＝1，∠BCC1＝3．

(1)求证：C1B⊥平面ABC；

(2)试在棱CC1(不包含端点C，C1)上确定一点E，

使得EA⊥EB1．

图117

三、总结：1.三种平行间的转化关系

2.三种垂直问题的转化关系．

四、课后作业：

(2014·课标全国Ⅰ卷)如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.

(1)证明：B1C⊥AB；

(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC-A1B1C1的高．

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