3.1.3 空间向量的数量积运算教案1

3.1.3空间向量的数量积运算

高州二中

教

材

分

析

学

情

分

析

新教材将向量的内容分为必修和选修两部分，在必修中学生主要学***面向量的相关知识及其应用，选修中学生通过类比将向量知识由平面推广到空间，主要是为了改善立体几何的学习，实现几何问题代数化。

《空间向量的数量积运算》是人教A版选修2—1，第三章第一节的知识内容，是人教社A版数学《选修2-1》中继空间向量的加减法、数乘运算之后的又一种运算，是又一个从平面到空间推广的实例.学生在学习过程中，充分体验类比、归纳的数学学习方式，使学生体会类比与归纳的数学思想方法的应用，深刻理解空间向量的数量积运算本质，逐步体会数量积运算在解决垂直等问题中的应用价值，为后续学习坐标表示下的向量方法解决空间角、长度、垂直等问题奠定重要基础.

并让学生初步体会如何将立体几何问题转化为向量的计算问题，为利用向量法解立体几何做好铺垫。

学生在经历空间向量的概念及线性运算之后，已初步感受到空间向量与平面向量之间的内在联系，能体会并运用类比的方法学习空间向量及其运算，明白了“空间任意两个向量都是共面的”；在平面向量的学习中，已经认识到平面向量的数量积在判定位置关系（垂直）、角与距离的计算中的应用价值，这为研究空间位置关系及相关度量提供了类比前提.即在平面向量的夹角和向量长度概念的基础上，类比引入空间向量的夹角、长度的概念和表示方法，类比平面向量的数量积的运算得到空间两个向量的数量积运算、运算律及其应用价值. 空间向量的投影以及数量积的分配律，代数形式上与平面向量中完全一样，但是在几何直观上又有些许不同.这是学生在类比归纳中的一个难点，需要适时铺垫引导，逐个突破. 数量积在解决立体几何中直线和平面垂直、直线和直线垂直等问题的过程中，学生对几何元素与空间向量之间的对应及如何用空间向量表示所涉及的几何元素困难较大，这是将立体几何问题转化为空间向量问题的关键.

知识与技能：

（1）通过小组合作、自主探究、交流分享，在类比中归纳得出：空间任意两个向量都是共面的，空间任意两个向量的数量积就是平面向量的数量积；学生能进一步理解和掌握空间向量数量积的相关概念及运算（2）经历例1、2的分析、求解过程，学生能初步体验空间向量在解决立体几何有关问题中的重要价值，能基本掌握用数量积处理空间中线线、线面垂直问题. 过程与方法：

（1）体会低维与高维相互转化的思维过程

（2）在解决具体问题的过程中，学生能强化数学应用意识，感悟数学思想（数形结合、化归转化等）的魅力.

情感与态度：（1）激发学生求知欲，提高学习兴趣，树立学好数学的信心

（2）认识数学的科学价值、应用价值，体会数学的理性精神

教学目标分析

教学重点难点

教学策略分析

过程

问

题

引

入

重点：通过类比归纳得出空间向量数量积运算的概念及运算律，在运用数量积运算解决空间垂直问题的过程中感悟数量积运算及运算律的重要价值. 难点：理解空间向量的投影以及数量积的分配律；用空间向量表示几何元素并建立几何与向量的联系，将立体几何问题转化为向量计算问题；深刻体会“没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷！”

教学过程中，充分发挥学生主体作用，践行“学生先行，交流呈现，教师断后”的教学理念，突显“以学生为主体的教，在教师引导下的学”的授课模式. 通过问题引入、阅读理解、表格填写、交流分享等途径，让学生“动起来”，让课堂“活起来”.在概念、运算律的建构中，始终坚持让学生主动进行类比与归纳；在例题赏析中，注重引导学生建立“已知”与“待求”间的“关联”.借助向量工具适时转化难点，设置问题串适时突破难点，注重渗透数形结合、化归转化的数学思想.通过课堂小结与感悟，让学生能对课堂所学有持续的思考，激发学习的热情，进一步增强教师引领的辐射作用. 教学内容

G20峰会向世界展示了杭州的无穷魅力，一些别致的建筑和设计令人印象深刻！设计、制造这些宏伟的建筑、精美的造型，都会遇到许多立体几何问题，比如建筑和地面垂不垂直，要不要垂直？构成建筑的部件长度多少？彼此成多少角度比较合适等等。怎么样才能解决这些问题呢，必须要有强大的数学工具！

问题1:在所学的数学工具中，哪些可以用来研究垂直问题，计算长度、角度问题？

问题2:

在《必修4》中已经学***面向量，并深刻地体会到平面向量在解决垂直、长度、角度等问题中的应用。我们还学习了空间向量的加减法、数乘运算，那么空间向量中，怎么样的运算能支持判断垂直问题，长度、角度计算问题？

追问：空间向量有数量积吗？为什么？是怎么样的？

师生活动

空间向量的数量积运算不是凭空产生的，教师引导学生在与平面向量的类比中，体验空间向量数量积运算存在的必然性，从而自然地引出学习内容. 设计意图

激活学生已有学习经历和知识储备，在学生思维的最近发展区设置问题，引导学生从已有知识和方法中，寻求解决问题的途径。培养学生根据已有知识，思考、探索未知世界的能力。

问题3：请同学们四人1小组，借助小组的力量，学生分类比平面向量对照表格中的信息，结合桌上的学习任务单，一起组：4人的数量积，暗小组，确示学生从定探究：空间向量的数量积到底是怎么样的？

定1名组义、几何意义、

合

作

学

习

探

究

新

知

长.组长负责组织讨论，记录、汇报讨论结果.

教师引导：呈现研究平面向

量数量积运算交流分享，辨析概念

倾听不同小组代表的回答，在与平面向量数量积类的几个暗比过程中，逐步归纳出空间向量的数量积定义、几维度，示学生何意义、运算律，并猜想：两者完全一样！

在对话和碰撞中，逐步呈现“疑虑”：平面向量中的探究的投影、分配律，在空间向量中仍然适用吗？（小组方向. 巡视、点合作探究）

空间向量的投影

拨：确认回顾平面向量中投影的概念及作法，重温两种作法：平移组长，对转化、直接作垂线，为后续研究提供类比基础。

讨论过问题4:类比平面向量投影的得到过程，在空间中一个向量程中个在另一个向量上的投影，该怎么作呢？

别疑难处进行指导.并提醒学生：对照表格进行填写，梳理空间向量数量积

运算的空间向量数量积运算的分配律

相关知由于空间任意两个向量都是共面的，所以空间两个向量的识. 数量积运算就是平面向量的数量积运算。因此平面向量数

量积的许多运算律都适用于空间向量的数量积运算.但是注意到：a(bc)abac

问题5：这三个向量一定共面吗？如果不是，这条运算律还成立吗？

追问：同学们能否借助投影来证明分配律？

结合学习任务单，试作出bc,b,c在a方向上的投影. 运算律等方面学习空间向量的数量积，为学生自主探究空间向量的数量积运算提供方向选择. 充分发挥学生的主体作用，践行“学生先行，交流呈现，教师断后”的教学理念，突显“以学生为主体的教，在教师引导下的学”的授课模式，让学生“动起来”，让课堂“活起来”. 学生通过类比平面向量中的向量投影的概念、作法，在猜想、论证后得到空间向量的投影概念及作法.在此过程中，进一步体会空间向量和平面向量的内在联系，领悟“空间任意两个向量都是共面的，空间向量的投影可以转化为平面向量的投影”，同时还学会了空间向量投影的直观作法，体悟了数形结合的思想. 引导学生学会

探

究

新

知

问题6：在理清了空间向量数量积的运算律之后，请同学辨析一下书本90页思考题中的三个问题. 观察分析，能利用数学直觉和逻辑推理，从数量积定义和投影概念出发，对分配律是否成立进行论证.

问题7：应用空间向量数量积能解决立体几何中的哪些问题呢？

再次引导学生类比平面向量的应用

a

b



0



a



b

(

a



0,

0)

证垂b

直

aba

,

b



0,

cos



(

a

b



0)

求夹角

ab

2

求长度

aaaa

欧氏几何体系没有一个能让学生俯瞰全局的制高点，许多问题需要作辅助线，而向量法程序化强，便于操作。体会数学家吴文俊先生所说的：几何研究要“腾飞”必须采取“数量化”的方法，使学生明确知识的应用价值，也为用向量解决立体几何做好铺垫

[来源:学_科_网][来源学科网]通过回答表格的问题，学生进一步理解了空间向量数量积的概念及相关运算律，有效地完善了空间向量数量积运算的知识建构，为后续使用空间向量工具解决立体几何问题提供了运算支持

引入空间向量主要是为了改善立体几何的学习。

例题分析点拨提升

学习一个新的量，就要研究它的运算；研究完运算，

就要研究相应的运算律；整个体系完善后，我们就要研究它的实际应用。

例1.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. POAl

将文字叙述转译为数学语言表达是例1的难点，将几何问题转化为向量问题是又一个难点，解决问题的核心是数量积运算

例2呈现了数

按如下过程引导学生思考

（1）

如何把已知的几何条件转化为向量表示（2）考虑未知向量能否用基向量或其他已知向量表示（3）如何对已经表示出来的向量进行运算，获得需要的结论

例2 （用向量法证明）直线和平面垂直的判定定理

已知：m,n是平面内的两条相交直线，如果量积运算刻画空间线面垂直关系的价值.证明l与内任意一条直线g是关键，运用空间向量共面定理表示lm,ln 求证：l．

gxmyn是本题的难点.通过设置问题串，引导学生思考求解策略；类比例1，促使学生深刻体会数量积运算在刻画空间垂直关系中的应用价值.为此设置问题串来突破难点，并结合书本展示和课堂解析，

归学生从以下两方面梳理本节课的收获：

纳（1）本节课学了哪些数学知识？

整（2）体现了怎样的数学思想和数学方法？

理

作1. 课本P92 练习2、3 业2. 阅读课本

阅读与思考

《向量概念的推广与应用》

布置

板

书

设

计

3.1.3

空间向量的数量积运算

1.空间两个向量的夹角

例1

例2 2.空间两个向量的数量积

3.数量积满足的运算律